18. 정적분의 성질 (Properties of Definite Integral)

이번에는 앞서 정의한 정적분의 여러가지 성질에 대해서 알아보자.

 

 

1. 적분 구간을 뒤집으면 반대부호가 된다.

$$ \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) dx = -\int_\textcolor{blue}{b}^\textcolor{red}{a} f(x) dx $$

적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{b-a}{n}$ 였던 것이

$\dfrac{a - b}{n} = -\dfrac{b-a}{n}$ 로 바뀌므로 간단히 증명된다.

 

 

2. 구간의 크기가 $0$ 이면 적분 값은 $0$ 이다.

$$ \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{red}{a} f(x) dx = 0 $$

적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{a-a}{n} = 0$ 이므로 (사각형 밑변의 크기가 $0$)

합은 $0$ 임이 간단히 증명된다.

 

 

3. 그 외 성질들. 여기서 $c$ 는 임의의 상수이고 $f, g$ 는 연속인 함수이다.

$$ \begin{align} \int_a^b c \; dx = \; &c(b-a) \\ \int_a^b \textcolor{limegreen}{f(x) \pm g(x)} \; dx = \; &\int_a^b \textcolor{limegreen}{f(x)} \; dx \pm \int_a^b \textcolor{limegreen}{g(x)} \; dx \\ \int_a^b \textcolor{limegreen}{c} f(x) \; dx = \; &\textcolor{limegreen}{c} \int_a^b f(x) \; dx \end{align} $$

첫 번째 성질 증명 : 

$f(x) = c$ 로 상수함수로 생각할 수 있으므로 $[a, b]$ 에서의 적분은 직사각형 넓이를 구하는 것과 동치가 된다. 따라서 $c(b-a)$ 이다.

 

두 번째 성질 증명 :

덧셈인 경우에 대해 증명한다. 극한의 성질로부터 다음이 이끌어진다.

$$ \begin{align} \int_a^b f(x) dx = &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n [ \textcolor{limegreen}{f(x_i) + g(x_i)} ] \Delta x \\ = &\lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i = 1}^n \textcolor{limegreen}{f(x_i)} \Delta x + \sum_{i = 1}^n \textcolor{limegreen}{g(x_i)} \Delta x \right] \\ = &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x + \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n g(x_i) \Delta x \\ = &\int_a^b f(x) \; dx + \int_a^b g(x) dx \end{align} $$

뺄셈의 경우엔 세번째 성질을 증명하고 $c = -1$ 이라 하여 두번째 성질을 같이 이용하면 해결된다.

 

세 번째 성질 증명 :

역시 극한의 성질로부터 다음이 이끌어진다.

$$ \begin{align} \int_a^b cf(x) \; dx = &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n c f(x_i) \Delta x \\ = &c\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \\ = &c\int_a^b f(x) \; dx \end{align} $$

 

4. 구간이 연결되는 정적분을 서로 더하면 합친 구간의 정적분이다.

$$ \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{green}{c} f(x) \; dx + \int_\textcolor{green}{c}^\textcolor{blue}{b} f(x) \; dx = \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{blue}{b} f(x) \; dx $$

이 성질을 증명하기는 쉽지 않다고 한다.

다만 아래 그림처럼 이해하면 당연한 결과처럼 느껴질 것이다.