18. 정적분의 성질 (Properties of Definite Integral)

이번에는 앞서 정의한 정적분의 여러가지 성질에 대해서 알아보자.

 

 

1. 적분 구간을 뒤집으면 반대부호가 된다.

$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

적분의 정의에서 구간의 크기가 ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ 였던 것이

${\displaystyle \frac{a-b}{n}}=-{\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ 로 바뀌므로 간단히 증명된다.

 

 

2. 구간의 크기가 $0$ 이면 적분 값은 $0$ 이다.

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

적분의 정의에서 구간의 크기가 ${\displaystyle \frac{a-a}{n}}=0$ 이므로 (사각형 밑변의 크기가 $0$)

합은 $0$ 임이 간단히 증명된다.

 

 

3. 그 외 성질들. 여기서 $c$ 는 임의의 상수이고 $f,g$ 는 연속인 함수이다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}cdx=& c(b-a)\\ {\int }_a^{b}f(x)\pm g(x)dx=& {\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx\\ {\int }_a^{b}cf(x)dx=& c{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

첫 번째 성질 증명 : 

$f(x)=c$ 로 상수함수로 생각할 수 있으므로 $[a,b]$ 에서의 적분은 직사각형 넓이를 구하는 것과 동치가 된다. 따라서 $c(b-a)$ 이다.

 

두 번째 성질 증명 :

덧셈인 경우에 대해 증명한다. 극한의 성질로부터 다음이 이끌어진다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)dx=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n[f(x_i)+g(x_i)]\mathrm{\Delta }x\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x+\sum _{i=1}^{n}g(x_i)\mathrm{\Delta }x]\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}g(x_i)\mathrm{\Delta }x\\ =& {\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

뺄셈의 경우엔 세번째 성질을 증명하고 $c=-1$ 이라 하여 두번째 성질을 같이 이용하면 해결된다.

 

세 번째 성질 증명 :

역시 극한의 성질로부터 다음이 이끌어진다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}cf(x)dx=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}cf(x_i)\mathrm{\Delta }x\\ =& c\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x\\ =& c{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

 

4. 구간이 연결되는 정적분을 서로 더하면 합친 구간의 정적분이다.

$${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$$

이 성질을 증명하기는 쉽지 않다고 한다.

다만 아래 그림처럼 이해하면 당연한 결과처럼 느껴질 것이다.