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미분적분학

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[연습 문제] 선적분, 면적분, 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리

벡터 해석 단원의문제를 모아놓은 글이다.다음 목록의 글들을 공부하고 풀어보자. 벡터장과 스칼라장스칼라장에서의 선적분벡터장에서의 선적분선적분의 기본정리벡터의 회전과 발산그린 정리와 그 의미매개변수 곡면과 그 넓이스칼라 함수의 면적분벡터 함수의 면적분스토크스 정리발산 정리     1. Evaluate the line integral, where $C$ is given curve.$$ \int_C xe^y \; ds, \quad C \text{ is the line segment from } (2, 0) \text{ to } (5,4) $$더보기곡선 $C$ 를 매개변수 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다.$$ C : \textbf{r}(t) = , \quad 0 \le t \le 1 $$그러면 $\textbf..

발산 정리(Divergence Theorem)

앞서 그린 정리에서 발산에 관한 그린 정리에 대해 소개한 바가 있다. 발산 정리(2차원) $$ \oint_C \textbf{F} \cdot \textbf{n} \; ds = \iint_D \nabla \cdot \textbf{F} \; dA $$ 좌변은 폐곡선 상에서의 벡터장의 발산 정도를 나타내고 우변은 폐곡선이 만드는 영역위의 모든 점에서 벡터장의 발산을 합한 값을 나타내므로 "어떤 영역(평면)에서의 벡터장의 발산은 그 경계에서의 발산이랑 같다" 를 의미한다고 했었다. 이번에 소개할 발산정리는 위 정리를 3차원으로 확장시켜서 같은 논리로 "어떤 영역(공간)에서의 벡터장의 발산은 그 경계면에서의 발산이랑 같다" 라는 의미를 갖는 정리이고 식으로 다음과 같이 표현한다. 발산 정리(3차원) 공간속에 유계이..

스토크스 정리(Stokes' Theorem)

앞서 그린 정리를 소개하면서 그린 정리는 스토크스 정리의 특수한 경우라고 언급했었다. 이제 그 스토크스 정리에 대해 알아보자. 정리를 소개하기 앞서 닫힌 곡면에서 곡면의 방향과 곡면의 경계선의 진행방향의 관계에 대해 다음과 같이 먼저 약속을 하고 가자. 어떤 방향이 있는 유향 곡면 $S$ 가 있고 이 곡면의 경계를 $C$ 라고 하자. 곡면 $S$ 는 앞 뒤의 두 방향이 존재하는데, 둘 중 한 방향을 정해 단위벡터로 $\textbf{n}$ 이라 하자. 그리고 $\textbf{n}$ 이 향하는 방향 위에서 곡면을 바라보았을 때 $C$ 의 진행방향이 반시계 방향이 되도록 정한다. 스토크스 정리(Stokes' Theorem) $S$ 가 닫혀있는 조각적으로 부드러운 단순곡선 $C$ 를 경계로 하는 조각적으로 부드..

벡터 함수의 면적분(Surface Integrals on Vector Fields)

본 블로그의 미적분학 시리즈를 순서대로 보지 않고 검색을 통해 들어왔다면 다음 글들을 읽어보고 이 글을 보는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 스칼라 함수의 면적분 이해를 돕기 위해 벡터장에서의 선적분을 먼저 빠르게 복습해보자. 삼변수 벡터함수의 선적분은 다음과 같은 형태를 하고 있었음을 떠올리자. $$ \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{d\textbf{r}} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{T} \; ds} $$ 그리고 이는 곡선 $C$ 의 각 부분마다 곡선이 향하는 방향으로의 벡터장 $\textbf{F}$ 의 성분을 다 더한다는 의미였었다. 곡선 $C$ 는 다음과 같이 ..

스칼라 함수의 면적분(Surface Integrals on Scalar Functions)

앞서 선적분에 대해 소개한 바가 있다. 원활한 이해를 위해 아래 글들을 한 번 읽고 오는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분이 매개변수로 표현된 곡선을 경로 삼아 함수를 적분하는 것이였다면, 이번에 소개할 면적분은 매개변수로 표현된 곡면을 적분 영역 삼아 함수를 적분하는 것이다. 선적분에서 스칼라 함수(스칼라장)의 선적분, 벡터 함수(벡터장)의 선적분 두 종류 있었 듯이 면적분에도 스칼라 함수(스칼라장)의 면적분, 벡터 함수(벡터장)의 면적분 두 종류를 다룬다. 이번 글에서는 스칼라 함수의 면적분에 대해 다룬다. 우선 이해를 돕기 위해 잠시 선적분을 복습하고 넘어가자. 삼변수 스칼라 함수의 선적분은 다음과 같이 표현되었음을 떠올리자 $$ \int_C f(x,y, z) \; d..

매개변수 곡면과 그 넓이(Parametric Surfaces and Their Areas)

■ 매개변수 곡면의 정의와 의미 앞서 2차원 평면에 놓인 곡선을 매개변수 $t$ 를 이용해 다음과 같이 정의했었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 만약 곡선이 3차원 공간에 놓여있다면 $z$ 성분을 추가해주기만 하면 됐었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 비슷한 방법으로 3차원 상에 존재하는 매개 곡면을 정의해보자. 이 곡면의 $x, y, z$ 값을 표현하기 위해서는 곡선과는 달리 두 개의 독립 변수가 필요하다. 따라서 매개변수 곡면을 다음과 같이 제시할 수 있다. $$ \textbf{r}(u, v) = $$ 이렇게 표현한 $\textbf{r}$ 역시 벡터 함수임을 유념하자. 곡선의 매개변수 표현에서 $t$ 의 값(정의역)이 어떤 구간으로 표현 되었듯이 곡면의 매개변수 $u, v$ 역시..

미분방정식

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15. 비동차 미분방정식 - 매개변수 변환법(Variation of Parameters method)

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 비동차 미분방정식의 특정해(Particular solution)를 구하는 방법으로 이전 글에서 계수비교법(Method of undetermined coefficient)를 소개했었다. 이 방법은 일반적인 선형 미분방정식 (편의를 위해 2계 미분방정식에 대해서 적을 것이다.) $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t) $$ 에서 $g(t)$ 항이 $\sin{x}$ 나 $e^x \cos{x}$ 꼴 등의 특수한 경우에 대해서만 이용할 수 있음을 알 수 있었다. 하지만 $g(t)$ 항이 항상 그런 특수한 꼴을 하고 있으리란 법은 없고, 일반적인 $g(t)$ 꼴에 대해서도 특정해를 구하는 방법이 있으면 좋을 것이다. ..

14. 비동차 미분방정식 - 계수 비교법 (Nonhomogeneous ODE, method of undetermined coefficient)

※이 글은 2계 동차 선형미분방정식에 대한 기본 지식이 있어야 이해할 수 있습니다. 지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다. 동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때, $$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$ 에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다. 예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고 $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$ 다음은 동차이다. $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$ 다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다. $$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$ 동차인 선형 미분..

13. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (3편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient)

계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고 한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다. 마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다. Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때 이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다. 즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다. $$ y_1 = e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$ 그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y..

12. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (2편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient)

이 글에서 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 는 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 을 푸는 문제로 바뀌고 이 중 서로 다른 두 실근 $r_1, r_2$ 을 갖는 경우에 대해 다루었었다. 이 글에서는 $y = e^{rt}$ 로 두고 푸는 것이 왜 가능한건지 여러가지 2계 선형 미분방정식에 관한 정리를 통해 보였었다. 이번 글에서는 켤레 복소수 근(서로 다른 두 허근)을 갖는 경우에 대해 다루고자 한다. $r_1, r_2$ 가 허수이므로 $y = e^{rt}$ 는 지수가 허수인 지수함수이다. 그런데 지수함수는 정의역이 실수인 경우에 대해 정의가 되어 있었으므로 허수를 지수로 갖는 지수함수가 무엇인지 정의할 필요가 있다. ..

11. 이계 선형 미분방정식의 일반 해에 대한 정리

※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다. 이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을 푸는 문제로 바뀌고,서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다.그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다. 하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다.일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다.알고 보았더니 $e^{rt}$ 의 꼴 말고..

10. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (1편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient)

일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서 계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다. $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 예제1 다음 미분방정식을 풀어라. $$ y'' - y = 0 $$ $$ \quad y(0) = 2, \; y'(0) = -1$$ 식을 이항하여 $y'' = y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다. 두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자. $y = \sin{t}$ 는 두 번 미분하면 $y'' = -\sin{t}$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos{t}$ ..

수학 토막지식

신발끈 공식 그린 정리로 유도하기

신발끈 공식은 각 꼭지점의 좌표가 주어져 있을 때, 이 좌표들만을 이용하여 삼각형의 넓이를 계산해내는 공식으로 중고교 수학에서 교육과정에 정식으로 소개하지는 않지만 숨겨진 비기처럼 쓰이곤 하는 공식이다. 각 좌표에 대해서 $x$ 값들을 왼쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적고 $y$ 값들을 오른쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적어준 후 마지막에 시작점의 $x, y$ 값을 한 번 더 적어주고 $2 \times 2$ 크기의 행렬식 계산할 때처럼 엑스자 모양으로 계산하여 다 더하면 신발끈 공식이 된다. (마지막에 $2$ 로 나누어 주어야 한다.) 이 모습이 마치 신발끈을 묶는 모습과 같아서 신발끈 공식이라 불린다. 단순히 삼각형 넓이라면 기하학을 이용해 공식이 맞음을 쉽게 증명할 수 있는데 이 공식은 삼각형이 아닌..

토막 지식 2023.10.15 3
$\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유

$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 이유를 설명하는 글에 이어서 이번에는 $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 이유를 설명하고자 한다. 이전글과 마찬가지로 단순화된 상황을 가정하고 계산을 통해 의미를 이끌어낼 것이다. 발산의 의미대로 어떤 점에 대해 그 점 근처의 벡터들이 얼마나 뻗어나가려는 경향을 가지는지 계산해야 한다. 발산을 계산하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자. 0. $\textbf{F}(x, y, z) = $ 가 주어져있고 점 $x, y, z$ 주위로 부피가 $(2\Delta x)(2 \Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다고 하자. 그러면 여섯 면에 대해서 그 면 위의 벡터가 얼마나 바깥방향을 향하고 있는지 계산하면 될 것이다. 1. 회전에서 반시..

토막 지식 2023.10.13 1
$\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유

$\text{curl }\textbf{F}(x,y,z)$ 는 점 $(x,y,z)$ 의 주변 벡터들이 회전하는 정도를 의미한다고 알려져 있다. 그리고 식으로는 다음과 같이 정의되어있는데 $$ \text{curl } \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} ..

토막 지식 2023.10.12 0
가우스 기호가 포함된 함수 그래프의 개형

다음은 KMO 중학 2023년 기출이다. 풀이 전략은 가우스 기호가 포함된 항과 그렇지 않은 항을 분리시킨 후 그래프를 따로 그려서 교점을 찾는 것이다. 그러려면 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다. 우선 주어진 식을 변형하면 다음과 같다. $$ [x]([x] - 2) = 2x - 4 $$ 좌변의 그래프를 그리는 방법을 찾자. 간단히 떠오르는 방법으로는 전체 구간을 양 끝점이 정수인 크기가 $1$ 인 구간으로 쪼갠 후 각 구간에 대해 함수값을 직접 구해서 그래프를 그리는 것이다. $-2 \le x < -1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -2(-2 - 2) = \textcolor{red}{8} $ $-1 \le x < 0 ..

토막 지식 2023.10.09 0
하루에 시계의 시침과 분침은 몇 번 만날까?

이번 글은 수학적인 계산보다는 직관으로 푸는 방법에 대해 설명한다. 바로 본론으로 들어가면 시침의 각속도가 $0$ 이여서 멈춰있다면, 하루에 분침이 $24$ 바퀴 도므로 둘은 하루에 $24$번 만나게 된다. 반대로 시침이 분침만큼 빠르다면 둘은 만난상태로 계속 돌게되므로 시침과 분침이 서로 스쳐서 지나가는 경우는 하루에 $0$ 번이 된다. 실제의 시침은 이 두 가지 경우의 속도들의 사이에 있다. 첫 번째 경우보다 빠르고 두 번째 경우보다 느리다. 즉, 두 바늘은 하루에 $0$ 번 보다 많고 $24$ 번 보다 적게 만난다는 뜻이다. 이렇게 답이 $24$ 번이 아님을 직관적으로 알 수 있다. 왜냐하면 실제 시계의 시침은 하루에 두 바퀴 도는데, 시침의 속도가 $0$ 이였을 때와는 달리 느리게라도 도는 속도가..

토막 지식 2023.07.28 0
PDE - Solving heat equation using combination of variables method

Heat equation 의 풀이법 중 하나인 Combination of variables method를 소개한다. Heat equation 은 다음의 꼴을 갖는 편미분방정식이다. Heat equation 3차원 공간에서 특정 시간 $t$ 와 특정 위치에서의 온도를 나타내는 함수 $u(x, y, z, t)$ 에 대해 $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$ 종종 문제를 간단히 하기 위해 $y$ 와 $z$ 에 대한 열전달이 없다고 가정하고 오직 한 방향 $x$ 에 대해 이 방정식을 다음과 같이 기술한다. $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 이런 꼴의 편미분방정식은 ..

토막 지식 2022.12.09 0

기타

유니티 자동완성이 안될 때 해결법 (Monobehaviour 상속이 안될 때 해결법)

위 사진처럼 MonoBehaviour가 에메랄드색으로 표시가 안되고 GameObject 나 Image 처럼 유니티 내에서 정의되어있는 클래스들의 색이 안입혀지고 자동완성이 안될 때는 유니티랑 Visual Studio가 연결되어 있지 않기 때문에 일어나는 문제이다. 위 사진처럼 유니티 - Edit - Preference 에 들어가서 External Tools 로 들어가면 다음과 같은 창이 뜨는데 External Script Editor 을 Visual Studio Community (ㅇㅇ버전) 을 선택해주면 해결이 된다.

기타 2023.08.01 0
크롬에서 인스타그램 스토리 올리는 법 (확장프로그램 아님)

확장프로그램으로는 스토리 올리기가 잘 안되는 경향이 있어서 다른 방법을 소개한다.참고로 마이크로소프트사의 Edge 브라우저에서도 작동하는 것을 확인하였다 1. 크롬에서 인스타그램에 접속한다. 2. 키보드의 F12를 눌러준다. 3. 다음 사진의 버튼을 눌러 모바일 버전으로 전환한다(엣지에서도 버튼이 비슷하게 생겼다)  4. 그 상태에서 키보드의 F5를 누르면 스토리를 올릴 수 있는 창이 생긴다. 5 안되면 3번 4번을 다시 반복해본다.

기타 2023.06.10 5
연세대학교 편입학 지구과학(대기과학) 2023 기출 복기

총 100점, 수학 과목 포함 3시간이 주어지며, 시간 분배는 자유임 1-1. 포화수증기압의 개념을 쓰시오. (6점) 1-2. 상대습도의 공식을 쓰시오. (6점) 1-3. 상대습도를 100%로 만들기 위한 방법을 최소한 두 가지 이상 제시하시오. (6점) 1-4. 물의 기화곡선을 그리고 과포화, 포화, 불포화를 표시하시오. (6점) 1-5. 습구온도가 건구온도보다 낮은 이유를 설명하시오. (6점) (총 30점) 2. 태양에서 가장 많이 방출되는 빛과 지구에서 가장 많이 방출되는 빛을 각각 쓰시오. 관련된 이론을 서술하고, 이를 이용하여 태양의 온도와 지구의 온도가 차이가 나는 이유를 설명하시오 (20점) 3. 지구의 자전효과가 대기대순환에 미치는 영향을 서술하시오. 이와 관련하여 지구의 자전효과가 있을 ..

기타 2022.12.26 0
연세대 편입 전적대에 대하여 (2022)

편입판에서 연고대, 특히 연세대는 전적대학을 많이 본다고 알려져 있다. 하지만 독편사에 올라왔던 합격 수기들을 보면 의외로 지방대 출신도 많이 보인다. 궁금증이 생겨 몇 차례 독편사에서 조사를 해보았지만 투표자가 진짜 연세대 합격자가 맞는지 아니면 지나가던 행인이 장난으로 투표한것인지 구분하기 힘든 문제가 있었다. 그래서 이번에 연세대 에브리타임 편입게시판에서 조사를 진행하였고 다음과 같은 결과를 얻었다. 이과 대학 구간 수 비율 연세대, 고려대 1 4% 서강대 성균관대 한양대 4 16% 중앙대 경희대 한국외국어대 서울시립대 이화여대 7 28% 건국대 동국대 홍익대 숙명여대 5 20% 국민대 숭실대 세종대 단국대 인하대 아주대 3 12% 광운대 명지대 상명대 가톨릭대 1 4% 인천대 가천대 경기대 덕성여..

기타 2022.02.28 2
연세대학교 화공생명공학부 일반 편입 합격

편입동기나 과정에 대해서는 여기서는 공개하지 않겠습니다. 연고대 편입판에서 가치가 높은 정보가 많이 있기 때문에 추후에 과외를 하게 되면 학업계획서와 함께 개인적으로 공개하려고 합니다. 전적대 : 인서울 중하위 학점 : 3.59 / 4.5 (F 받은 과목 2개 포함) TEPS : 337 / 600 (현재는 354/600 입니다) 제출 서류 : 전적대학 컨텐츠 및 게임 제작대회 금상(1등), 일반수학(미적분학)튜터 증명서

기타 2022.02.08 0