공데셍

이번 글에서는 지난 글 13. 도함수 판정법, 14. 점근선 에서 다룬 내용을 이용해 함수의 그래프를 그리는 법에 대해 다룬다. 순서가 엄격히 정해진 것은 전혀 아니지만 가장 찾기 쉬운 정보부터 표시하여 곡선을 이어가는 방식으로 진행된다. 1. 정의역 확인 2. $x$ 절편, $y$ 절편 표시 3. 대칭성 확인 4. 점근선 확인 5. 증가, 감소구간 찾기 6. 극대, 극솟값이 존재하는 점 찾기 7. 오목성을 확인하고 변곡점 찾기 8. (1~7) 정보를 토대로 곡선을 그리기 각각의 과정에 대해서 따로 자세히 설명하기 보다 예제를 통해 이해하는 것이 빠르다. 예제 다음 곡선을 그리시오 $$ y = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} $$ 더보기 1. 정의역 확인 이 함수는 유리함수이므로 분모가 $0$ 이..

가장 먼저 상미분방정식 (미분과 연관된 함수가 일변수함수) 에 대해 다룬다. 다음과 같은 미분방정식이 상미분방정식이다. $$ \dfrac{dy}{dt} = f(t, y) $$ 여기서 $f(t, y)$ 는 독립변수 $t$ 와 $t$ 에 대한 종속변수 $y$ 에 관한 이변수함수로써 그 형태가 정해진것이 없다. 그리고 임의의 형태의 $f$ 가 주어졌을 때 항상 해를 이끌어내는 일반적인(General)한 방법은 아직 알려진게 없다. 하지만 $f$ 가 특수한 조건을 만족하는 경우에 대해서는 일반적인 해법이 존재하는 경우가 있다. 이번 글에서는 $f$ 의 변수 $y$ 가 선형적일 때 미분방정식을 푸는 법을 알아볼 것이다. 미분방정식의 분류가 기억이 안난다면 이 글을 읽어보고 오면 된다. 다음과 같은 형태를 만족하는..

무한히 뻗는 곡선에서 어떠한 직선과의 거리가 0으로 수렴해간다면 이 때의 직선을 점근선이라고 한다. 어떠한 함수의 곡선이 점근선을 가지는지 여부도 그 곡선의 특징을 나타내는 요소라고 할 수 있으므로 곡선을 그릴 때 점근선을 파악해야한다. 스튜어트 미분적분학에서는 다음 세 종류의 점근선을 다룬다. 수평점근선, 수직점근선, 경사점근선 이들을 각각 알아보자. 수평점근선 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 이거나 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ 이면 직선 $y = L$ 을 $f(x)$ 의 수평점근선(Horizontal asymptote)라 한다. 예시 1 $$y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ 위의..

평균값 정리 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고, $(a, b)$ 에서 미분가능하면 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ 을 만족하는 $c \in (a, b)$ 가 존재한다. ■ 혹자는 $f$ 가 $x = a, b$ 인 점에서 미분가능하다는 조건이 없기 때문에 그렇다고 얘기하지만 이는 틀린 설명이다. 양 끝점에서 미분 가능하다고 해도 결과는 달라지지 않는다. ■ 결론부터 말하자면, 평균값 정리는 롤의 정리에서 유도되고 롤의 정리의 증명에 극값 정리가 이용되는데, 극값정리와 $f(a) = f(b)$ 라는 이 두 조건이 $c$ 가 $a$ 또는 $b$ 에 존재하는것을 막는다. 평균값 정리의 증명을 우선 살펴보자. 증명 $(a, f(a)), (b, f(b))$ 두 점을 지나는 ..

미분방정식은 여러 종류가 있다. 이들을 분류하는 법을 살펴보자. 1. 상미분/편미분 가장 크게는 미분방정식에 연루된 함수가 일변수인지 다변수인지로 분류한다. 일변수함수인 경우에는 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)라고 부르고 다변수함수인 경우에는 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)라고 부른다. 예를들어 다음은 상미분방정식이고 $$ 3\dfrac{dx(t)}{dt} - x^{2}(t) = 5 $$ $$ \sqrt{y} \dfrac{dy}{dt} = 1 $$ 다음은 편미분방정식이다. $$ 2 \dfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \dfrac{\partial u(x, t)}{\part..

미분을 이용하면 그래프의 개형을 파악하는데 도움이 된다. 13, 14번 글에서는 곡선을 그릴 때 미분을 이용하여 개형을 파악하는 도구들을 다룰 것이고 15번 글에서 이들을 종합하여 곡선을 그리는 예제들을 다룰 것이다. 이번 글에서 일계도함수, 이계도함수를 이용해 그래프의 개형을 파악하는데 도움을 주는 정리들을 알아보자. 1. 일계도함수를 이용한 판정법 미분가능한 함수라면 이 함수가 어떤 구간에서 증가 또는 감소하는지 판별할 수 있다. (참고) 함수의 증가, 감소의 정의 증가 어떤 구간 I에 속하는 임의의 $x_1, x_2$ 가 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 할 때, $f(x_1) < f(x_2)$ 가 항상 성립한다면 $f(x)$ 는 구간 $I$ 에서 증가라고 이야기 한다. 감소 어떤 구간 I에 속하..

참고한 책은 다음과 같다. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 11th edition 미분방정식(Differential Equation)은 미분을 포함하고 있는 방정식을 일컫는다. 만약 미적분을 공부하고 온 사람들 중에 미분방정식을 모르는 사람들은 이렇게 생각할지도 모른다. "미적분 공부할 때 나온게 죄다 미분인데 미분방정식이랑 미적분에서 다룬 내용이 뭐가 다르지?" 하지만 미적분학(Calculus)은 단순히 미분과 적분의 개념을 정의하고 그와 관련된 정리들을 유도하는 기초적인 부분에 초점이 맞춰져 있고 미분방정식은 방정식 내부에 어떤 함수의 미분형태를 포함하고 있을 때 그 방정식을 만족하는 원래 함수를 찾아내는것에 초점이 맞춰져..

1202년 레오나르도 피보나치가 토끼의 번식을 언급하며 이 수열을 연구했다고 한다. 토끼의 번식에 다음과 같은 규칙이 있다고 하자. 처음에 토끼 한 쌍이 있는데 한 쌍의 토끼는 매달 한 쌍의 토끼를 낳는다고 하자. 단, 갓 태어난 토끼는 그 달에는 번식을 못하고 한 달이 지나야 번식을 할 수 있다. 이 규칙에 따르면 다음 그림처럼 번식하게 된다. 이제 최초 토끼 쌍이 출현한 이래로 $n$ 개월 후의 토끼는 총 몇 쌍인지 구하고자 한다. $n$ 개월 지났을 때 총 토끼 쌍을 $f_{n}$ 이라 하자. 현재의 토끼는 이번 달 새로 태어난 토끼 + 지난달까지 존재하던 토끼이다. 즉 $n$ 월일 때 새로 태어난 토끼쌍의 수를 $N_{n}$ 이라 하고 $n$ 월일 때 성숙이 완료되어 있는 토끼쌍의 수를 $M_{n..

롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f'(c) = 0$ 인 수 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다. 1. $f$ 는 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이다. 2. $f$ 는 개구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하다. 3. $f(a) = f(b)$ 증명 더보기 세 가지 경우가 있다. 1. $f(x) = k$, ($k$는 상수) 2. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) > f(a)$ 인 경우 3. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) < f(a)$ 인 경우 1번의 경우에는 $f'(x) = 0$ 이므로 $c$ 는 구간 $(a, b)$ 의 아무 점을 택하여도 성립한다. 2번의 경우에는 함수가 폐구간에서 연속이므..

이제는 앞서서 배운 미분을 이용해 함수의 개형을 파악하는 방법을 알아볼것이다. 자연과학 뿐만 아니라 사회과학, 경제학 등 다양한 분야에서 그래프의 개형을 파악하는것은 중요한 일이다. 그리고 이 과정에서 그래프의 최고점, 최저점이 어디인지 알아볼 필요도 있을 것이다. 이를 위해서 최댓값과 최솟값의 정의를 정확히 해 둘 필요가 있다. 최댓값, 최솟값의 정의 $c$ 가 $f$ 의 정의역 $D$ 에 속한 수라고 하자. 그러면 $f(c)$ 는 다음과 같다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \geq f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최댓값이다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \le f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최솟값이다. 그리고 정의역 전체에서 최댓값 최..