공데셍

$\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 은 그림과 같이 진동하므로 발산한다는 것을 추측할 수 있다. 하지만 어디까지나 추측일 뿐 이러한 진동하는 함수들이 왜 발산하는지에 대해서 엄밀하게 증명할 필요가 있다. 참고로 전공교재인 스튜어트 미분적분학에도 $\lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}}$ 가 진동하므로 발산한다 정도로만 서술되어있고 엄밀하게 증명되어있지는 않았다. 그래서 이렇게 증명을 작성하게 되었다. 증명 수렴한다고 가정한 후 모순점을 보이는 귀류법을 통해 증명할 것이다. 극한이 다음과 같이 값 $L$ 에 수렴한다고 가정해보자. $$ \lim_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}} = L $$ 한편 $-1 \le \s..

5. 함수의 기울기와 미분계수 (Slope and Derivative of a function)6. 도함수와 미분가능성 (Derivative and Differentiability)7. 미분 공식 (Differentiation Formulas)8. 연쇄법칙과 증명 (Chain Rule)9. 음함수의 미분법 (Implicit Differentiation)10. 선형근사 (Linear Approximation) 와 관련된 문제들을 모아놓은 포스트이다.가급적 위 포스트들을 모두 공부한 후 풀어보기를 권장한다. 좋은 문제들을 찾게된다면 추후에 계속 추가될 수 있다. 1. 다음 함수에서 $f'(0)$ 이 존재하는지 그렇지 않은지 결정하라. (스튜어트 연습문제)$$ f(x) = \begin{cases} x\sin{..

과학이나 공학에서는 때때로 정확한 값 보다는 적은 노력으로 꽤 근접한 유사값을 찾아낼 수 있다면 그것을 높이 평가하기도 한다. 쉬운 예로 $y = \sin{x}$ 가 $x=0$ 에서 $\sin{0} = 0$ 임은 알지만 $\sin{(0.2)}$ 가 무엇인지 알고자 한다면 이는 쉽지 않다. 한참 나중에 소개하게 될 $\sin{x}$ 의 테일러 전개에 의해 $$\sin{x} = x - \dfrac{1}{3!}x^{3} + \dfrac{1}{5!}x^5 - \dfrac{1}{7!}x^7 + \cdots $$ 로 표현되는 식에 $0.2$ 를 대입하여 한없이 긴 계산을 해야할 것이다. 하지만 선형근사라는 방법을 이용하면 복잡한 계산없이 간단하게 근삿값을 구할 수 있게 된다. 핵심 아이디어는 아래 그림과 같이 $x..

이전까지는 일반적인 $y = f(x)$ 의 꼴로 표현되는 함수들의 미분에 대해 알아보았다. 이런 형태의 함수를 양함수 (Explicit function) 이라 부른다. 한편 다음과 같은 식에 대해서도 미분계수가 궁금할 수 있다. $$x^2 + y^2 = 9$$ 이 방정식은 반지름이 $3$인 원의 방정식으로 하나의 $x$ 값에 두 개의 $y$ 값이 대응되는 점들이 있으므로 함수가 아니다. 하지만 원의 방정식에도 분명 접선이 존재할것이고 이들의 기울기를 구하는 방법이 있을것으로 보인다. 위의 원의 방정식 처럼 $f(x, y) = 0$ 의 꼴로 표현되는 함수를 음함수 (Implicit Function) 라고 부른다. 음함수는 식의 정리를 통해 하나의 양함수로 풀 수 있는 경우도 있고 둘 이상의 양함수로 풀 수..

7. 미분 공식 (Differentiation Formulas) 에서 함수의 합에 대한 미분법칙, 곱에 대한 미분법칙, 차에 대한 미분법칙 등등 함수들의 대수적인 연산에 대한 미분법칙에 대해 알아보았었다. 이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다. 참고로 이번 글은 평소보다 부연설명을 더욱 자세히 적어서 초보자들이 잘 이해 못하는 점들을 모두 해결해주는데 집중하였다. 핵심만 찾고자 한다면 전공책을 보는것이 나을 수도 있다. 미분계수는 그 점에서의 $\dfrac{y 순간 증가율}{x 순간 증가율}$ 로 정의되었었고 라이프니츠식 표기법으로 $\dfrac{dy}{dx}$ 로 표현된다는 것을 5. 함수의 기울기와 미분계수, 6. 도함수와 미분가능성 에서 알아보았었다. 이제 합성함수 $F(x) ..

이번 포스팅은 몇몇 함수들에 대한 미분 공식을 정리할 것이다. 상수함수, 거듭제곱함수에 대한 미분공식을 먼저 보인 후 상수배의 공식, 합의 공식, 차의 공식, 곱의 공식, 몫의 공식을 증명하여 확장해 나갈 것이며 마지막으로 이를 이용해 삼각함수의 미분공식을 유도해낼 것이다. 지수함수, 로그함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수에 대한 미분 공식은 이번 포스팅에서 다루지는 않는다. 아래에 정리된 공식들을 설명하고 증명한다. 상수함수 \((f(x) = c)\) $$ \dfrac{d}{dx}(c) = 0 $$ 증명 더보기 $$ \begin{align} f'(x) = &\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ = &\lim_{h \to 0} \dfrac{c - c}{..

이전 포스팅에서 함수 \(f\)의 고정된 값 \(a\) 에서의 미분계수에 대해 다뤘고 다음과 같은 식임을 알았다. $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ 그리고 자연스럽게 고정된 점이 아닌 임의의 점 \(x\) 에서의 미분계수도 생각해볼 수 있을것이다. 다음과 같이 \(a\) 대신에 \(x\) 를 대입함으로써 이를 구할 수 있다. $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \tag{f의 도함수} $$ 위 식을 잘 보자. 정의역의 \(x\) 라는 값이 들어가면 \(x\) 점의 미분계수가 되어 \(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\) 라는 값이 튀어 ..

곡선 \(C\) 가 \(y = f(x)\) 로 나타내어 진다고 하자. 이 곡선위의 점 \(P : (a, f(a))\) 과 첫번째 그림과 같이 곡선위의 \(P\) 가 아닌 또 다른 점 \(Q : (x, f(x))\) 를 설정하여 두 점을 이은 선분을 만들자. 이 선분의 기울기 \(m_{PQ}\)은 \(\dfrac{f 증가량}{x 증가량} \) 임을 알 수 있고 식으로는 다음과 같이 적는다. \(m_{PQ} = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) 그리고 두번째 그림처럼 \(x \to a\) 로 만들어 점 \(Q\) 가 점 \(P\) 와 가까워지게 만들 때, 이 선분 \(PQ\)의 기울기는 점 \(P\) 에서의 접선의 기울기라고 정의한다. 접선의 기울기 \(y = f(x)\) 로 표현되는 곡선..

1. 함수의 극한 (Limits of functions)2. 극한의 엄밀한 정의, 엡실론 델타 논법(Epsilon-delta argument)3. 극한법칙과 압축정리 (Limit laws and Squeeze Theorem)4. 함수의 연속과 중간값 정리 (Continuity and Intermediate Value Theorem) 와 관련된 연습문제들을 모아놓은 포스트이다.가급적 위 포스트들을 모두 공부한 후 풀어보기를 권장한다.쉽게 풀이를 찾을 수 있는 기본 연습문제는 조금만 싣고 생각을 조금 해보아야 하는 문제들을 담았다.  초반 문제들은 부연설명을 자세하게 달았지만 뒤로 갈수록 핵심적인 내용 외의 설명은 생략했으므로 만약 이런 문제들을 처음 접한다면 초반 문제부터 순서대로 푸는것이 좋다.(다만 난..

이전 포스팅까지 함수의 극한에 대해 다루었다. \(x=a\)에서의 극한은 \(x = a\)를 내부에 두지만 포함하지 않아도 되는 어떤 열린 구간 \(I\)에서의 계산을 다루었었다. 즉 \( x=a \)에서의 함숫값은 \(x \to a\)의 극한이랑 아무 상관도 없다는 말이다. 따라서 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \neq f(a) \)인 경우도 있고 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)인 경우도 있는데, 후자의 경우를 만족하면 \( f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다. 라고 정의한다. 연속의 정의 $ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $ 이면 $ f(x) $ 는 $a$에서 연속이다. 즉, 함수가 어떤 점 \(x=a\..