공데셍

정리 $n$ 계 선형 미분방정식 $$ L[y] = y^{(n)} + a_{1}(t)y^{(n-1)} + a_{2}(t)y^{(n-2)} + ... + a_{n}(t)y = 0 $$ 에 대해 $L[y] = 0$ 을 만족하는 $n$ 개의 해 $y_1, \; y_2, \; y_3, ... , \; y_n$ 이 종속인 조건은 $a_1(t), a_2(t), ... , a_n(t)$ 가 모두 연속인 어떤 구간 $I$ 에 속하는 $t_0$ 에서의 Wronskian $ W[y_1, y_2, y_3, ... , y_n](t_0) = 0$ 인 조건과 필요충분조건이다. 중요한 것은 이 정리는 $y_1, y_2, ... , y_n$ 이 선형 미분방정식의 해일 때만 이 정리가 참이라는 것이다. 선형 미분방정식의 해가 아니라 아..

※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다. 이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을 푸는 문제로 바뀌고,서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다.그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다. 하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다.일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다.알고 보았더니 $e^{rt}$ 의 꼴 말고..

일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서 계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다. $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 예제1 다음 미분방정식을 풀어라. $$ y'' - y = 0 $$ $$ \quad y(0) = 2, \; y'(0) = -1$$ 식을 이항하여 $y'' = y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다. 두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자. $y = \sin{t}$ 는 두 번 미분하면 $y'' = -\sin{t}$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos{t}$ ..

이제 이계 미분방정식으로 계(Order)를 올려볼 것이다. 만약 일계 미분방정식에 대해 잘 모른다면 먼저 공부하고 와야 한다. 이 블로그 미분방정식 카테고리의 첫 글부터 보고 오자. 링크 이계 미분방정식 (Second-Order Differential Equation) 은 다음의 꼴을 갖는 미분방정식을 얘기한다. $$ \dfrac{d^2 y}{dt^2} = f\left( t, y, \dfrac{dy}{dt} \right) $$ 여기서 $f$ 는 임의의 함수이고, 이 함수의 독립변수는 $t$ 이다. 당연하게도 $t$ 말고 $x$ 를 써도 상관없고 $y$ 대신 $x$ 를 써도 상관없다. 변수는 잡기 나름이다. 그리고 $f$ 가 다음의 꼴을 갖는다면 이계 선형 미분방정식은 선형(Linear)이라고 한다. $$..

이번 글에서는 이 글에서 소개하였던 일계 미분방정식이 특정 조건 하에서는 해가 존재하고 유일하다는 정리에 대한 증명에 관한 내용을 다룬다. 참고로 이 증명은 이 책에서도 완벽히 다루고 있지 않고, 실제 증명은 해석학 지식이 많이 필요하기 때문에 이를 공부하지 않은 필자는 실제 증명을 찾아보았으나 완벽히 이해하지 못했다. 이번 글은 책에 수록된 내용에 대해서만 약간의 부가 설명을 곁들여 썼다. 해석학을 공부한 후에 이 글을 수정할 예정이다. 일부 미분방정식들은 적분인자법, 변수분리해법 등의 풀이법을 통해 직접적으로 해가 존재함을 보일 수 있지만 대부분의 경우에는 이런 방법이 가능하지 않다. 따라서 다른 방법을 통해 일반적인 미분방정식의 해의 존재성을 증명해야하는데 이번에 소개할 그 방법의 핵심은 다음과 같..

지금껏 일계 미분방정식의 해를 구하는 여러가지 방법을 알아보았다. 선형인 경우엔 적분 인자를 곱하여 풀었고 변수분리형인 경우엔 변수를 분리한 후 적분하여 풀었고 완전 미분방정식인 경우에는 원함수가 무엇인지 적분으로 추정해내서 풀었다. 그리고 여기서 다음과 같은 일계 미분방정식은 특정 조건을 만족하면 항상 유일한 해가 존재한다는 정리를 소개했었다. $$ \dfrac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0 $$ 하지만 위에 나열하였듯 풀이 방법이 존재하는 경우는 아주 특수한 경우인 것이고 대부분의 경우에는 풀이법이 알려져있지 않다. 그럼에도 해가 존재한다는게 증명이 되어있으니 수치적 근사하는 방법으로라도 해를 찾아볼 수는 있을 것이다. 이번 글에서 수치적 근사 방법 중 하나인 오..

이번에는 일계 미분방정식 중 '완전 미분방정식' 이라 불리는 미분방정식에 대해 알아보고 그 풀이법에 대해서도 알아볼 것이다. 다음과 같은 미분방정식은 선형이 아니라서 적분인자 방법으로 풀 수도 없고 변수를 분리가능하지도 않아서 그렇게 풀 수도 없다. $$ 2x + y^2 + 2xyy' = 0 $$ 그런데 $ \psi(x, y) = x^2 + xy^2 $ 라는 함수를 상정해보면 $\textcolor{skyblue}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} = 2x + y^2 } $ 이고, $ \textcolor{orange}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial y} = 2xy } $ 이다. 그러면 주어진 미분방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다. $$ \left[..

미분적분학에서 수열/급수 단원에서 다루는 문제 중 다음과 같은 유형이 있다. 다음 수열이 수렴하는지 판단하고, 수렴한다면 그 값을 구하라. $$ a_{n+1} = \dfrac{1}{3-a_n}, \quad a_1 = 2 $$ 점화식이 양함수 꼴로 주어져 있는 수열이다. 양함수란, 독립변수 $x_1, x_2, ... , x_n $ 에 대해 종속변수 $y$ 가 $y = f(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) $ 꼴로 주어졌을 때 $f$ 는 양함수라고 얘기한다. 위 수열은 $a_{n+1} = y$ 라고 두고 $a_n = x$ 라고 하면 $y = f(x)$ 꼴이므로 양함수 꼴인 수열이다. 아무튼 이러한 유형의 문제 풀이는 정해져있다. 단조수열정리 (Monotone Sequence Theorem) 을 ..

지금까지 선형 미분방정식의 적분인자를 이용한 해법과 변수분리형 미분방정식의 풀이법을 알아보았다.여기서 두 가지 의문이 남는다.구한 해는 과연 그것 뿐일까? 만약 유일하지 않다면 미분방정식을 푸는 의미가 별로 없을 것이다.또 미분방정식을 풀어보지 않고 해가 존재하는지 바로 알 수 있을까? 이번 글에서는 미분방정식이 특정한 조건 하에서는 해가 항상 유일하게 존재한다는 것에 대해 다룰 것이다.우선 선형인 경우에 대해 알아보자. ■ 일계 선형미분방정식의 해의 존재성과 유일성에 대한 정리만약 함수 $p$ 와 $g$ 가 $t = t_0$ 을 포함하는 구간 $I : \alpha 연속이라면다음의 미분방정식$$  y' + p(t)y = g(t) $$는 구간 $I$ 에서 위의 미분방정식을 만족하는 유일한 해 함수 $y =..

지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는 양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 구할 수 있다는 것을 알았다. 이번에는 일계미분방정식 중 선형이 아님에도 불구하고 특수한 조건 하에는 양변에 적분을 해줌으로써 해를 구할 수 있다는 것을 보일 것이다. 일반적인(General) 일계 미분방정식은 다음 꼴을 갖는다. $$ \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \tag{식 1}$$ 참고로 이번 글에서는 독립변수로 $t$ 대신 $x$ 를 이용할 것이다. $(\text{식} 1)$ 을 적당히 변형하면 다음과 같은 꼴을 얻을 수 있다. $$ M(x, y) + N(x, y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$ 이렇게 변형하는것은 항상 가능하다. 한 ..