공데셍

이번 글에서는 이후 등장할 정리들을 간단한 기호로 표현할 수 있도록 하는 연산에 대해 설명한다. 회전과 발산의 정의가 왜 회전과 발산을 나타내는지는 다음 글을 참조하고 ■ $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유 ■ $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유 여기서는 정의와 계산법만 설명한다. 벡터의 회전(Curl)은 다음과 같이 정의된다. 벡터의 회전(Curl) $\mathbb{R}^3$ 위에서 정의된 벡터장 $\textbf{F} = $ 가 있고 $P, Q, R$ 의 편미분이 모두 존재한다고 하자. 이 때 $\textbf{F}$ 의 회전(Curl) 은 다음과 같이 정의된다. $$ \text{curl }{\textbf{F}} = \nabla \times \textbf{F}..

다음은 KMO 중학 2023년 기출이다. 풀이 전략은 가우스 기호가 포함된 항과 그렇지 않은 항을 분리시킨 후 그래프를 따로 그려서 교점을 찾는 것이다. 그러려면 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다. 우선 주어진 식을 변형하면 다음과 같다. $$ [x]([x] - 2) = 2x - 4 $$ 좌변의 그래프를 그리는 방법을 찾자. 간단히 떠오르는 방법으로는 전체 구간을 양 끝점이 정수인 크기가 $1$ 인 구간으로 쪼갠 후 각 구간에 대해 함수값을 직접 구해서 그래프를 그리는 것이다. $-2 \le x < -1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -2(-2 - 2) = \textcolor{red}{8} $ $-1 \le x < 0 ..

미적분학의 기본정리와 유사하게 선적분에서도 선적분의 기본정리가 있다. 미적분학의 기본정리(2) 는 다음과 같았음을 떠올리자. $$ \int_a^b F'(t) \; dt = F(b) - F(a) $$ (단, $F'$ 는 $[a, b]$ 에서 연속인 함수이다.) 선적분의 기본정리도 이와 유사하다. 선적분의 기본정리 곡선 $C$ 가 $\textbf{r}(t), t \in [a, b] $ 로 주어진 부드러운 곡선이라고 하자. $f$ 를 미분가능한 이변수 또는 삼변수 스칼라 함수라고 하고 기울기 벡터 $\nabla f$ 가 $C$ 에서 연속이라고 하면 다음이 성립한다. $$ \int_C \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) $$ 더보기..

수학의 꽤 많은 부분은 물리학이랑 같이 발전했다. 벡터장에서의 선적분도 물리학에서 얘기하는 일(Work)를 계산하는데 이용이 되도록 정의되었다. 따라서 물리학에서 얘기하는 일부터 먼저 설명하고 벡터장에서의 선적분을 정의할 것이다. 일상속에서 일이란, 어떤 작업을 하는데 드는 노력의 양을 뜻한다. 물리학에서 얘기하는 일은 이 일상용어랑 좀 다른데, 어떤 물체가 이동할 때 그 이동방향으로 물체가 받은 힘과 거리의 곱을 뜻한다. 힘은 물체가 이동하는 방향과 항상 일치하는 것은 아니므로 힘 벡터와 방향 벡터를 내적을 시켜주어야 할 것이다. $$ \begin{align} W = &\text{힘} \cdot \text{변위 벡터} \\ = &\textbf{F} \cdot \textbf{d} \\ = &\textco..

일변수 함수에서 적분은 정의역이 직선형태였고 이 직선을 따라서 적분을 했었다. 평면 위의 곡선으로 정의된 정의역에 대해서도 구불구불하게 적분을 할 수 있지 않을까 생각해보자. 무슨 말이냐면, 일반적인 적분은 다음 그림과 같은데 정의역이 평면 위의 곡선이라면 다음 그림과 같이 적분할 수도 있지 않을까 생각해볼 수 있다는 말이다. 이러한 적분을 선적분(Line Integral) 이라고 부르는데, (왜 곡선적분이 아니라 선적분인지는 알 수 없다.) 선적분을 정의하기 위해 다음과 같이 정의된 곡선 $C$ 를 고려하자. $$ C \; : \; x = x(t), \; y = y(t), \quad a \le t \le b $$ 이는 다음과 같은 벡터 함수로 생각할 수 있다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 이..

새로운 단원을 본격적으로 들어가기에 앞서 벡터장과 스칼라장에 대해 새롭게 알 필요가 있다. 벡터장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 벡터를 대응시킨 것이고 스칼라장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 스칼라 값을 대응시킨 것이다. 즉, 좌표를 정의역으로 갖고 벡터 또는 스칼라를 공역으로 갖는 함수인 것이다. 벡터장의 예로는 어떤 방 안에 공기의 흐름이 존재한다고 하자. 이 때 방 안의 모든 위치마다 바람의 방향, 세기가 존재할 것인데, 이를 각 좌표마다 대응되는 방향과 세기를 표시해준 것이 벡터장이다. (벡터장은 앞서 배웠던 벡터함수 $\textbf{r}(t) = $ 랑 실질적으로는 같은 것이다. $t$ 변수를 생각하지 않고 $x,y,z$ 에 대한 함수라고 보면, $\textbf{r}(t)$ 는 $\t..

$\textcolor{skyblue}{2}$ 차원 도형인 삼각형에서 $L$ 은 밑변의 길이이고 $H$ 는 밑면과 수직인 높이라고 할 때 넓이는 다음과 같다. $$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{2}}LH $$ $\textcolor{skyblue}{3}$ 차원 뿔의 부피는 밑면의 넓이를 $A$, 높이를 $H$ 라고 할 때 다음과 같다. $$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{3}}AH $$ 규칙이 보인다. $n-1$ 차원의 밑면의 초부피가 $V$, 높이가 $H$ 인 $n$ 차원 뿔의 초부피는 다음과 같다고 예상할 수 있다. $$ \dfrac{1}{n}VH $$ 이를 증명해보기 위해 $2$ 차원에서부터 생각해보자. $2$ 차원인 삼각형의 넓이를 적분으로 계산해보자...

본 블로그의 미적분학 17번~24번 포스팅에 관한 연습문제이다. 17. 넓이 문제와 정적분 18. 정적분의 성질 19. 미적분학의 기본정리 20. 부정적분 21. 치환 적분 22. 부분 적분 23. 적분을 이용한 부피 계산 24. 함수의 평균값 1. 다음을 증명하여라 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin{x} \; dx \le \dfrac{\pi^2}{8} $$ 더보기 $\sin{x} \le 1$ 이므로 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 에서 $x\sin{x} \le x$ 이다. 따라서 정적분의 비교 성질에 의하면 $$ \textcolor{orange}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin{x} \; dx} \textcolor{blue}{\le} \int_0..

$n$ 개의 값 $y_1, y_2, y_3, \cdots , y_n$ 의 평균은 다음과 같이 정의된다. $$ y_{\text{avg}} = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n y_i $$ 무한히 많은 값을 갖는 함수에 대해서도 평균을 생각할 수 있다. 예를 들어 연속함수 $f(x) = x^2$ 의 $[0, 2]$ 에서의 평균은 다음과 같이 생각할 수 있다. $x = 0$ 일 때 $y = f(0) = 0$ $x = 0.000...1$ 일 때 $y = f(0.000...1) = (0.000...1)^2$ $x = 0.000...2$ 일 때 $y = f(0.000...2) = (0.000...2)^2$ ... $x = ..

넓이 계산하는 파트는 책만 읽어도 쉽게 이해 되므로 생략했다. 다음과 같은 물체를 살펴보자. 물체는 $x = a$ 부터 $x = b$ 까지의 범위에 분포해 있다. 임의의 점 $x$ 에서의 단면의 넓이를 $A(x)$ 라고 하자. 이 물체의 부피를 다음과 같이 $x$ 축에 평행하게 여러번 잘라 낸 부분 부피들의 합으로 근사시킬 수 있다. 예컨대, 7개 조각으로 나눈 위의 경우엔 부피 $V$ 는 다음과 같이 근사된다. $$ V \approx \sum_{i = 1}^7 A(x_i) \cdot \Delta x$$ 정적분에서 넓이를 구할 때처럼, 나눈 조각의 갯수가 많아질수록 실제 부피에 수렴하게 될 것으로 예상할 수 있다. 따라서 부피를 다음과 같이 정의한다. 부피의 정의 (정적분) $S$ 가 $x = a$ 와 ..