선적분의 기본정리 (Fundamental Theorem for Line Integrals)

미적분학의 기본정리와 유사하게 선적분에서도 선적분의 기본정리가 있다.

미적분학의 기본정리(2) 는 다음과 같았음을 떠올리자.

$$ \int_a^b F'(t) \; dt = F(b) - F(a) $$

(단, $F'$ 는 $[a, b]$ 에서 연속인 함수이다.)

 

선적분의 기본정리도 이와 유사하다.

선적분의 기본정리

곡선 $C$ 가 $\textbf{r}(t), t \in [a, b] $ 로 주어진 부드러운 곡선이라고 하자.
$f$ 를 미분가능한 이변수 또는 삼변수 스칼라 함수라고 하고
기울기 벡터 $\nabla f$ 가 $C$ 에서 연속이라고 하면 다음이 성립한다.
$$ \int_C \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) $$

벡터장에서의 선적분의 정의에 의해 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

$$ \int_C \nabla f \cdot d\textbf{r} = \int_a^b \textcolor{orange}{\nabla f(\textbf{r}(t))} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{r}'(t)} \; dt $$

$\textcolor{orange}{\nabla f(\textbf{r}(t))} = \left< \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right>$ 이고 $ \textcolor{skyblue}{\textbf{r}'(t)} = \left< \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt} \right> $ 이므로 이 둘의 내적은 다음과 같다.

$$ \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} $$

다변수 함수의 연쇄법칙에 의해 이 식은 $ \dfrac{d}{dt}f(\textbf{r}(t)) $ 와 같고,

이를 원래 적분식에 대입하면 미적분학의 기본정리 2 에 의해 다음과 같다.

$$ \int_a^b \dfrac{d}{dt}f(\textbf{r}(t)) \; dt = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) $$

 

$\nabla$ 를 마치 일변수 함수에서의 미분기호처럼 생각하면 위의 선적분의 기본정리도

일변수함수의 미적분학의 기본정리 처럼 "도함수의 정적분은 원함수의 순변화량이다" 라는 의미를 갖게 된다.

 

정확히는 삼변수 스칼라 함수 $f$ 에 대해 $\nabla f$ 는 $\left< \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right>$ 이므로 $f$ 의 기울기를 나타내는 벡터장인데,

이 기울기들을 곡선을 따라 적분(합)하면 결과는 나중의 함수값 - 처음의 함수값이 된다는 의미를 갖는다.

 

이 정리의 의의는

벡터장에서의 선적분을 계산할 때, 만약 벡터장 $\textbf{F}$ 가 보존적 벡터장이면

(다시 말 해, $\textbf{F} = \nabla f$ 를 만족하는 포텐셜 함수 $f$ 가 존재한다면)

적분을 직접 계산하는 것이 아니라 포텐셜 함수에 값만 넣어서 쉽게 결과를 계산할 수 있다는 것이다.

 

 

 

추가로 선적분의 기본정리 식의 좌변은 벡터장에서의 선적분이다.

주의할 것은, 일반적인 벡터장에서의 선적분이 아니라 포텐셜함수가 존재하는 벡터장에서의 선적분이다.

즉, 포텐셜함수가 존재하지 않는 벡터장이라면, 위 정리를 적용할 수 없을 것이다.

벡터장이 보존장이어서 포텐셜 함수가 존재하는지 판단하는 법은 나중에 설명한다.

 

또 이로부터 알 수 있는 점이 있는데, 시작점이 같고 끝점이 같으며

벡터장이 포텐셜함수가 존재한다면(선적분의 기본정리를 적용할 수 있다면)

적분 경로랑 상관없이 적분 결과값이 같다는 것이다.

그리고 이런 상황을 경로독립(Independent of path)이라 부른다.

(정리를 다시 살펴보면 알겠지만, 적분값의 결과는 $a$ 와 $b$ 즉, 시작점과 끝점에 대해서만 연관되어있지

어떤 경로를 통했는지에 대한 정보는 없다.)

 

수식으로 표현하자면, 두 점 $P_1$, $P_2$ 이 있고

이 둘을 잇는 임의의 서로 다른 경로 $C_1$, $C_2$ 이 있다고 하자.

이 때 벡터장 $\textbf{F}$ 가 포텐셜함수가 존재한다면 다음이 성립한다는 것이다.

$$ \int_{C_1} \textbf{F} \; d\textbf{r} = \int_{C_2} \textbf{F} \; d\textbf{r} $$

 

 

 

 

 

 

이와는 반대로 포텐셜 함수가 존재하지 않는 일반적인 벡터장에 대해서는 적분 결과가 적분 경로에 상관이 있다.

그리고 다음은 보존장과 경로독립에 관한 정리들을 정리한 것인데,

증명은 모두 스튜어트 교재에 나와있으므로 대강 설명하고 생략한다.

$$ \textbf{F} \text{ 가 보존장(포텐셜 함수 }f\text{ 가 존재함)} \textcolor{red}{\Longleftrightarrow} \text{ 적분 경로에 독립 } \textcolor{red}{\Longleftrightarrow} \oint_C \textbf{F} \; d\textbf{r} = 0 $$

(참고로 경로가 닫혀있을 때의 선적분을 $\oint$ 로 표현한다.)

 

 

■ 벡터장이 보존장이면 선적분은 경로에 독립이다 : 선적분의 기본정리에 의해 참이다.

■ 선적분이 경로에 독립이면 벡터장은 보존장이다 : 스튜어트 교재 벡터해석 단원 Theorem 4,

(벡터장이 정의된 영역이 열린 연결 영역일 때만 성립)

 

■ 경로에 독립이면 $\displaystyle \oint_C \textbf{F} \; d\textbf{r} = 0$ : 스튜어트 교재 벡터해석 단원 Theorem 3

■ $\displaystyle \oint_C \textbf{F} \; d\textbf{r} = 0$ 이면 경로에 독립 : 스튜어트 교재 벡터해석 단원 Theorem 3

 

 

 

벡터장이 보존장인지 아닌지는 어떻게 알 수 있을까?

만약 벡터장이 보존장이라면 $\textbf{F} = <P, Q>$ 로 표현될 때 (여기서 $P$, $Q$ 는 $x$ 와 $y$ 에 관한 함수)

어떤 스칼라 함수$f$ 가 존재하여 $P = \dfrac{\partial f}{\partial x}$, $Q = \dfrac{\partial f}{\partial y}$ 이어야 한다.

여기서 $P$ 를 $y$ 에 대해서 편미분 하고 $Q$ 를 $x$ 에 대해 편미분 해보자.

그러면 다음과 같은데

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \end{cases} $$

그런데 클레로의 정리(Clairaut's Theorem) 에 의하면,

이계 편미분이 영역에서 연속이면 편미분 순서를 바꿔도 둘은 같아야 한다.

따라서 보존장이면 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} $$

 

 

아래의 두 정리는 벡터장이 보존장인지 판단하는데 도움을 줄 수 있는 정리들이다.

정리 1

$\textbf{F}(x, y) = <P(x,y), Q(x,y)>$ 가
$P, Q$ 의 일계 편미분이 모두 연속인 영역 $D$ 에서 보존장이라고 하자.
그러면 영역 $D$ 에서 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} $$

 

정리 1 은 대우 명제로 $ \dfrac{\partial P}{\partial y} \neq \dfrac{\partial Q}{\partial x} $ 이면 $\textbf{F}$ 는 보존장이 아니다를 이용할 수도 있다.

 

위 정리의 역 격인 다음 정리는 영역 $D$ 조건에 열린 단순 연결 영역이라는 조건이 붙어 좀 더 제한적이다.

단순 연결 영역이란 영역 $ D $ 안에 존재하는 임의의 닫힌 곡선이

오직 영역 $D$ 에 해당하는 점들만 둘러싸고 있을 때를 얘기한다.

직관적으로는 영역에 구멍이 뚫려있거나 영역이 분리되어있으면 단순 연결 영역이 아니다.

열린 영역이란, 구간에서 열린구간과 비슷한 개념인데, 쉽게 얘기해서 경계가 없는 영역을 얘기한다.

자세한 내용은 기초 미적분학을 넘어서는 범위이므로 더 알 필요는 없다.

 

정리 2

벡터장 $\textbf{F} = <P, Q>$ 가 열린 단순 연결 영역 $D$ 에 놓여있다고 하자.
만약 $D$ 위에서 $P, Q$ 의 일계 편도함수가 연속이고
$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 을 만족한다면 $\textbf{F}$ 는 보존장이다.

 

정리 2 도 단순 연결 영역 위에서 정의된 벡터장이 보존장인지 여부를 판단해주는 정리지만

단순 연결 영역이 아니라면 이 정리를 사용하여 보일 수 없으므로 주의해야한다.

 

 

정리하자면, 위의 정리 1은 $ \dfrac{\partial P}{\partial y} \neq \dfrac{\partial Q}{\partial x} $ 일 때 이용하여 보존장이 아님을 보이고

정리 2는 열린 단순 연결 영역이고 $ \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} $ 일 때 이용하여 보존장임을 보이면 된다는 것이다.

 

 

예제 1

다음 벡터장이 보존장인지 판단하라
$$ \textbf{F}(x,y) = <3 + 2xy, x^2 - 3y^2> $$

벡터장이 2차원 좌표 평면 전체에서 정의되어 있고 이 영역은 열린 단순 연결 영역이다.

 

$P = 3 + 2xy$ 이고 $Q = x^2 - 3y^2$ 이고
$$ \dfrac{\partial P}{\partial y} = 2x = \dfrac{\partial Q}{\partial x} $$
이므로 정리 2에 의해 $\textbf{F}$ 는 보존장이다.

 

예제 2

다음 벡터장이 보존장인지 판단하라.
$$ \textbf{F}(x,y) = <\dfrac{-y}{x^2 + y^2}, \dfrac{x}{x^2 + y^2}> $$

벡터장이 원점에서 분모가 $0$ 이 되므로 정의되지 않는다.

따라서 벡터장이 정의된 영역을 다음과 같이 나누어 생각해야한다.

 

1. 원점을 포함하는 영역일 때

2. 원점을 포함하지 않는 영역일 때

 

 

 

1. 원점을 포함하는 영역일 때

 

벡터장이 보존장이면 선적분은 경로에 독립이다.

대우 명제로 선적분이 경로에 독립이 아니면 벡터장은 보존장이 아닌 것이다.

 

원점을 포함하는 적당히 크기가 큰 열린 단순 연결영역 $D$ 를 잡고

다음과 같이 정의된 폐곡선 $C$ 를 상정하자.

$$ C : \textbf{r}(t) = <\cos{t}, \sin{t}>, \; t \in [0, 2\pi] $$

그러면 $\textbf{F}(\textbf{r}(t)) = <-\sin{t}, \cos{t}>$ 이고

$\textbf{r}'(t) = <-\sin{t}, \cos{t}>$ 이다.

 

폐곡선이므로 만약 보존장이라면 이 곡선을 따라 선적분했을 때 $0$ 이 나와야 한다.

$$ \begin{align} \oint_C \textbf{F} \; d\textbf{r} = &\int_0^{2\pi} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t) \; dt \\ = &\int_0^{2\pi} \sin^2{t} + \cos^2{t} \; dt \\ = &\int_0^{2\pi} 1 \; dt = 2\pi \end{align} $$

하지만 위처럼 $0$ 이 아니라 $2\pi$ 가 나왔으므로

원점을 포함한 영역 위에서는 벡터장이 보존장이 아님을 알 수 있다.

 

 

 

2. 원점을 포함하지 않는 영역일 때

 

원점을 포함하지 않는 열린 단순 연결영역을 상정하자.

정리 2 에 의해 $\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 이면 벡터장은 보존장이다.

$$ \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{-x^2 + y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} $$

이므로 벡터장은 원점을 포함하지 않는 열린 '단순' 연결영역에서 보존장이다.

(참고로 $\mathbb{R}^2 - (0, 0)$ 은 원점을 포함하지 않는 영역이지만 구멍이 존재하므로 단순 연결영역이 아니다.

그리고 1번에서 보였 듯이 원점 주위를 둘러싼 폐곡선일 때는 $\displaystyle \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \neq = 0$ 이므로

이 영역은 보존장이 아니다.)

 

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보존장임을 알았으면 포텐셜함수가 존재할 것이고 선적분의 기본정리를 적용할 수 있을 것이다.

이제는 그 포텐셜 함수를 직접 구하는 방법을 알아보자.

 

벡터장 $\textbf{F}$ 가 보존장이면 포텐셜 함수 $f$ 가 존재하고 다음을 만족할 것이다.

$$ \begin{cases} P = \dfrac{\partial f}{\partial x} \\ Q = \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{cases} $$

즉  $P$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 원하는 포텐셜 함수 $f = \int P \; dx + g(y)$ 가 나온다.

($x$ 에 대해 적분 했으므로 적분상수가 $y$ 에 대한 함수 $g(y)$ 가 된다.)

$g(y)$ 가 뭔지 구하기 위해 $f$ 를 다시 $y$ 에 대해 편미분하면 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ 이므로 $Q$ 가 나와야 할 것이고,

비교를 통해 $g'(y)$ 가 무엇인지 알 수 있게 된다.

그러면 $g'(y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하여 $\displaystyle g(y) = \int g'(y) \; dy + K$ 를 얻을 수 있고,

이 $g(y)$ 를 $\displaystyle f = \int P \; dx + g(y)$ 에 대입하면 포텐셜 함수를 구할 수 있다.

$$ f(x,y) = \int P(x,y) \; dx + \int g'(y) \; dy + K $$

 

말보다 예제를 통해 이해해보자.

 

 

예제 3

다음 벡터장의 포텐셜 함수 $f$ 가 존재하면 이를 구하라.
$$ \textbf{F} = <\textcolor{orange}{3 + 2xy}, \textcolor{skyblue}{x^2 - 3y^2}> $$

정리 2 에 의해

$$ \dfrac{\partial \textcolor{orange}{P}}{\partial y} = 2x = \dfrac{\partial \textcolor{skyblue}{Q}}{\partial x} $$

이므로 주어진 벡터장은 보존장이고 따라서 포텐셜 함수 $f$ 가 존재한다.

 

따라서 어떤 스칼라 함수 $ f $ 가 존재하여 다음을 만족한다.

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x} = \textcolor{orange}{3 + 2xy} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \textcolor{skyblue}{x^2 - 3y^2} \end{cases} $$

첫번째 식을 $x$ 에 대해 적분하면 $f(x, y) + g(y)$ 가 나올 것이다.

($x$ 에 대해 적분했으므로 $y$ 에 대한 식은 상수 취급이고 $g(y)$ 를 상수로써 이용해야 한다.)

$$ \int \textcolor{orange}{3 + 2xy} \; dx = 3x + x^2y + g(y) $$

이를 다시 $y$ 에 대해 미분하면 $\textcolor{skyblue}{Q}$ 가 나와야 할 것이다.

$$ \dfrac{\partial}{\partial y}[x^2y + g(y)] = x^2 + g'(y) = \textcolor{skyblue}{Q} = \textcolor{skyblue}{x^2 - 3y^2} $$

즉 $g'(y) = -3y^2$ 이므로 $g(y) = -y^3 + K$ 이다.

따라서 $f$ 는 다음과 같다.

$$ f(x,y) = 3x + x^2y - y^3 + K $$

 

예제 4

곡선 $C$ 가 다음과 같을 때
$$ \textbf{r}(t) = <e^t \sin{t}, e^t \cos{t}>, \; t \in [0, \pi] $$
예제 3에서 구한 포텐셜 함수를 이용하여 다음 적분을 계산하라.
$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} $$
($\textbf{F}$ 는 예제 3에서의 벡터장이다.)

선적분의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = f(\textbf{r}(\pi)) - f(\textbf{r}(0)) $$

$$ \begin{cases} \textbf{r}(\pi) = (0, -e^{\pi}) \\ \textbf{r}(0) = (0, 1) \end{cases} $$

이므로 함수값은 다음과 같다.

$$ \begin{cases} f(\textbf{r}(\pi)) = f(0, e^{-\pi}) = e^{3\pi} + K \\ f(\textbf{r}(0)) = f(0,1) = -1 + K \end{cases} $$

이를 대입하면

$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = e^{3\pi} - (- 1) = e^{3\pi} + 1 $$