벡터장에서의 선적분 (Line Integral on Vector Fields)

수학의 꽤 많은 부분은 물리학이랑 같이 발전했다.

벡터장에서의 선적분도 물리학에서 얘기하는 일(Work)를 계산하는데 이용이 되도록 정의되었다.

따라서 물리학에서 얘기하는 일부터 먼저 설명하고 벡터장에서의 선적분을 정의할 것이다.

 

 

 

 

일상속에서 일이란, 어떤 작업을 하는데 드는 노력의 양을 뜻한다.

물리학에서 얘기하는 일은 이 일상용어랑 좀 다른데,

어떤 물체가 이동할 때 그 이동방향으로 물체가 받은 힘과 거리의 곱을 뜻한다.

 

힘은 물체가 이동하는 방향과 항상 일치하는 것은 아니므로

힘 벡터와 방향 벡터를 내적을 시켜주어야 할 것이다.

$$ \begin{align} W = &\text{힘} \cdot \text{변위 벡터} \\ = &\textbf{F} \cdot \textbf{d} \\ = &\textcolor{skyblue}{\left( |\textbf{F}|\cos{\theta} \right)} \textcolor{orange}{|\textbf{d}|} \\ = &\textcolor{skyblue}{\text{이동 방향의 힘 크기}} \times \textcolor{orange}{\text{이동 거리}} \end{align} $$

 

만약 물체가 직선상이 아닌 곡선으로 이동한다면, (대부분의 경우엔 직선보다는 곡선으로 이동할 것이다.)

곡선 $(C)$ 를 작은 조각 $(ds)$ 으로 나누어서 각 조각이 선분 형태라 가정하고

각 조각에서의 일을 구한 후 합하여 전체 일을 구해야 할 것이다.

 

나눈 조각 곡선의 방향의 단위벡터를 $\textbf{T}$ 라고 하자.

조각의 길이는 $\textcolor{orange}{ds}$ 이므로 위에서 $\textbf{d}$ (변위벡터) 에 해당하는 식은 $(\text{방향} \times \textcolor{orange}{\text{길이}})$ 로 $\textbf{T}\textcolor{orange}{ds}$ 가 될 것이다.

그리고 힘은 $\textbf{F}$ 로 주어져 있으므로, 조각 곡선에서의 일은 다음과 같다.

$$ dW = \textcolor{skyblue}{\textbf{F} \cdot \textbf{T}} \textcolor{orange}{ \; ds} $$

그리고 전체 일 $W$ 는 $dW$ 를 곡선 $C$ 내에서 적분( = 무한 합)한 값이므로 다음과 같다.

$$ W = \int_C dW = \int_C \textbf{F} \cdot \textbf{T} \; ds $$

한편, 곡선이 $\textbf{r}(t)$ 이므로, 이 곡선의 방향을 나타내는 단위 벡터 $\textbf{T}$ 는 다음과 같다.

$$ \textbf{T} = \dfrac{\textbf{r}'(t)}{|\textbf{r}'(t)|} $$

또, $\textcolor{orange}{ds} = |\textbf{r}'(t)| \; dt$ 이므로 $\int_C \textbf{F} \cdot \textbf{T} \; ds$ 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \int_C \textbf{F} \cdot \textbf{T} \; \textcolor{orange}{ds} = \int_C \textbf{F} \cdot \dfrac{\textbf{r}'(t)}{ \cancel{ |\textbf{r}'(t)| } } \textcolor{orange}{ \cancel{ |\textbf{r}'(t) | } \; dt} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{limegreen}{\textbf{r}'(t) \; dt} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{limegreen}{d\textbf{r}}$$

 

그리고 이처럼 물리학에서 일을 계산할 때 사용했던 방식을 벡터장에서의 선적분으로 정의하기로 한다.

위에서는 $\textbf{F}$ 가 힘이였지만, 이제는 $\textbf{F}$ 를 일반적으로 임의의 벡터장이라고 할 것이다.

그러면 벡터장 $\textbf{F}$ 의 곡선 $C$ 위에서의 선적분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

벡터장에서의 선적분의 정의

$\textbf{F}$ 를 부드러운 곡선 $C : \textbf{r}(t), \; t \in [a, b]$ 위에서 정의된 연속인 벡터장이라 하자.
그러면 $C$ 위에서의 $\textbf{F}$ 의 선적분은 다음과 같다.
$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = \int_C \textbf{F} \cdot \textbf{T} \; ds = \int_a^b \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t) \; dt $$

 

예제 1

곡선 $\textbf{r}(t) = <\cos{t}, \sin{t}>, \; t \in [0, \frac{\pi}{2}] $ 위에서
벡터장 $\textbf{F} = <x^2, -xy>$ 의 선적분을 구하라.

벡터장에서의 선적분의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t) dt  $$

$\textbf{r}'(t) = <-\sin{t}, \cos{t}>$ 이고

$\textbf{F}(\textbf{r}(t)) = <\cos^2(t), -\cos{t}\sin{t}>$ 이므로

$$ \begin{align} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t) = &<-\cos^2{t}, -\cos{t}\sin{t}> \cdot <-\sin{t}, \cos{t}> \\ = &-\sin{t}\cos^2{t} - \sin{t} \cos^2{t} \\ = &-2\cos^2{t}\sin{t} \end{align} $$

따라서 적분 식은 다음과 같다.

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} -2\cos^2{t}\sin{t} \; dt $$

$\cos{t} = k$ 라고 치환하여 계산하면 결과로 $-\dfrac{2}{3}$ 을 얻는다.

 

아래 예제는 물리학에서 이용되는 예시인데,

물리에 대해 몰라도 풀 수 있다.

 

예제 2

Experiments show that a steady current $I$ in a long wire produces a magnetic field $B$
that is tangent to any circle that lies in the plane perpendicular to the wire
and whose center is the axis of the wire (as in the figure).

Ampère’s Law relates the electric current to its magnetic effects and states that
$$ \int_C \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = \mu_0 I$$
where $I$ is the net current that passes through any surface bounded by a closed curve $C$,
and $\mu_0$ is a constant called the permeability of free space.
By taking $C$ to be a circle with radius $r$, show that the magnitude $B = | \textbf{B} |$
of the magnetic field at a distance r from the center of the wire is
$$ B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} $$

문제를 요약하자면,

자기장은 전류의 방향과 수직인 평면에 놓인 임의의 원에 대해 항상 접하는 방향인데,

이 자기장을 반지름이 $r$ 인 원 한 바퀴의 곡선 위에서 적분하면 그 값이 $\mu_0 I$ 라는 것이고

이 때의 자기장 벡터의 세기(크기)를 구하라는 문제이다.

 

곡선 $C$ 는 반지름이 $r$ 인 원이므로 다음과 같은 벡터방정식으로 정의하자.

$$ \textbf{r}(t) = <r\cos{t}, r\sin{t}>, \; t \in [0, 2\pi] $$

그러면 $\textcolor{red}{ \textbf{r}'(t) = <-r\sin{t}, r\cos{t}> }$ 이다.

한편 실험에 의해 자기장 $\textbf{B}(\textbf{r}(t))$ 는 이 곡선에 항상 수직이므로

$$ \textcolor{orange}{\text{자기장의 세기}} \cdot  \textcolor{skyblue}{r \text{ 에 대한 단위접선 벡터 } \textbf{T}} $$

으로 정의할 수 있고 따라서

$$ \textcolor{blue}{\textbf{B}(\textbf{r}(t))} = \textcolor{orange}{B}\textcolor{skyblue}{\textbf{T}} = \textcolor{orange}{B}\textcolor{skyblue}{\dfrac{\textbf{r}'(t)}{|\textbf{r}'(t)|}} = \textcolor{blue}{B <-\sin{t}, \cos{t}> } $$

 

이제 이 결과를 대입하면 $\displaystyle \int_C \textbf{B} \cdot d\textbf{r}$ 는 다음과 같다.

$$ \begin{align} \int_C \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = &\int_0^{2\pi} \textcolor{blue}{\textbf{B}(\textbf{r}(t))} \cdot \textcolor{red}{\textbf{r}'(t)} \; dt \\ = &\int_{0}^{2\pi} \textcolor{blue}{B<-\sin{t}, \cos{t}>} \cdot \textcolor{red}{<-r\sin{t}, r\cos{t}>} \; dt \\ = &\int_0^{2\pi} Br dt = 2\pi B r \end{align} $$

암페어 법칙에 의하면 이 값은 $\mu_0 I$ 랑 같으므로 $B$ 에 대해 정리하면

$$ B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} $$

 

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앞선 포스트 스칼라장에서의 선적분과 이번 포스트를 정리하자면

선적분은 스칼라장에서의 선적분, 벡터장에서의 선적분 두 종류에 대해 수행할 수 있으며

곡선 $C : \textbf{r}(t)$ 에 대해

 

스칼라장 $f$ 에서의 선적분은 다음과 같고

$$ \int_C f \; ds =  \int_C f(\textbf{r(t)}) |\textbf{r}'(t)| \; dt$$

벡터장 $F$ 에서의 선적분은 다음과 같다.

$$ \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = \int_C \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t) \; dt$$