스칼라장에서의 선적분(Line Integral on Scalar Fields)

일변수 함수에서 적분은 정의역이 직선형태였고 이 직선을 따라서 적분을 했었다.

평면 위의 곡선으로 정의된 정의역에 대해서도 구불구불하게 적분을 할 수 있지 않을까 생각해보자.

 

무슨 말이냐면, 일반적인 적분은 다음 그림과 같은데

 

정의역이 평면 위의 곡선이라면

다음 그림과 같이 적분할 수도 있지 않을까 생각해볼 수 있다는 말이다.

 

 

 

이러한 적분을 선적분(Line Integral) 이라고 부르는데,

(왜 곡선적분이 아니라 선적분인지는 알 수 없다.)

 

선적분을 정의하기 위해 다음과 같이 정의된 곡선 $C$ 를 고려하자.

$$ C \;  : \; x = x(t), \; y = y(t), \quad a \le t \le b $$

이는 다음과 같은 벡터 함수로 생각할 수 있다.

$$ \textbf{r}(t) = <x(t), y(t)> $$

이 곡선이 부드러운 곡선이라고 하자.
다시 말 해 $\textbf{r}'$ 가 연속이고 $\textbf{r}'(t) \neq 0$ 인 곡선이라고 하자는 것이다.

(일반적인 수학에서 말하는 smooth curve 랑은 다르다.)

 

일변수 리만 합으로 정의한 적분에서 우리는 적분 구간을 $n$ 등분하고

각 구간위의 임의의 점 $x_i^*$ 을 택하여

이 때의 함수값 $f(x_i^*)$ 이랑 구간의 크기 $\Delta x$ 를 곱한 것을

모든 구간에 대해 합하여 적분을 정의했었다.

 

 

비슷한 방법으로 곡선을 $n$ 등분하고

각 구간위의 임의의 점 $x_i^*, y_i^*$ 를 택하여

이 때의 함수값 $f(x_i^*, y_i^*)$ 이랑 곡선 구간의 크기 $\Delta s_i$ 을 곱한 것을  

모든 구간에 대해 합하면 곡선 위의 적분을 정의할 수 있을 것으로 보인다.

 

 

 

매개변수 $t$ 의 구간인 $[a, b]$ 를 $n$ 등분하여

$i$ 번째 구간을 $[t_{i-1}, t_i]$ 라고 하고 $x_i = x(t_i), \; y_i = y(t_i)$ 라고 하자.

그러면 이에 대응하는 점 $(x_i, y_i)$ 들은 곡선 $C$ 를 서로 다른 길이로 $n$ 등분한다.

이 크기는 $\Delta s_1, \Delta s_2, \cdots , \Delta s_n$ 이라 표현할 수 있다.

또, $i$ 번째 분할된 곡선위의 임의의 점을 택하고 이를 $(x_i^*, y_i^*)$ 라고 하자.

 

이제 $f$ 를 곡선 $C$ 가 포함된 영역 위에서 정의된 이변수 함수라고 하면

리만합을 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ \sum_{i = 1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta s_i $$

이제 양변에 $n \to \infty$ 극한을 씌워주면 일변수 리만적분과 유사하게 선적분을 정의할 수 있다.

 

선적분의 정의 (2차원)

$f$ 가 곡선 $C \; : \; \textbf{r}(t) = < x(t), \; y(t) >, \quad a \le t \le b$ 위에 정의된 이변수 함수라 하자.
그러면 $f$ 의 곡선 $C$ 위에서의 선적분은 다음과 같다.
$$ \int_{C} f(x,y) \; ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta s_i $$

 

변수 $s$ 에 대한 적분 $ds$ 인 상태로는 적분을 계산하기 어렵다.

왜냐하면, 피적분 함수 $f$ 가 $s$ 에 대한 함수가 아니기 때문에,

굳이 적분을 하자면 $f$ 를 $s$ 에 대한 함수로 변형을 시켜줘야 하기 때문이다.

그래서 대신 매개변수 $t$ 에 대해 적분하는 꼴로 변형시켜주면

$f$ 는 원래 $t$ 에 대한 함수이기도 하므로, 적분을 쉽게 할 수 있게 된다. 

 

곡선의 부분 길이 $\textcolor{orange}{ds}$ 는 다음과 같이 표현될 수 있었다.

$$ \textcolor{orange}{ds} = \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } \; dt$$ 

이를 대입하면 정의에 표현된 선적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \int_{C} f(\textcolor{skyblue}{x}, \textcolor{skyblue}{y}) \; \textcolor{orange}{ds} = \int_a^b f(\textcolor{skyblue}{x(t)}, \textcolor{skyblue}{y(t)}) \textcolor{orange}{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } \; dt }$$

이는 $t$ 에 대한 일변수 적분과 같으므로 계산하기가 수월하다.

 

 

 

예제 1

곡선 $C$ 가 $x^2 + y^2 = 1$ 의 $x$ 축 위의 반원이라고 할 때
다음 선적분을 계산하라
$$ \int_C 2 + x^2y \; ds $$

곡선 $C$ 를 우선 매개변수 방정식 형태로 표현해보자.

$ \textbf{r}(t) = <\cos{t}, \sin{t}>, \quad 0 \le t \le \pi $ 이면 적당하다.

(다른 표현 방법이 있다면 다르게 표현해도 상관 없다.)

그러면 $x(t) = \cos{t}$, $y(t) = \sin{t}$ 이고 $ds$ 는

$$ \begin{align} \textcolor{orange}{ds} = &\sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 } \; dt \\ = &\sqrt{ (-\sin^2{t}) + \cos^2{t} } \; dt \\ = &\textcolor{orange}{1 \cdot dt} \end{align} $$

이므로 주어진 식은 다음과 같다.

$$ \int_C 2 + x^2y \; \textcolor{orange}{ds} = \int_{0}^{\pi} 2 + [\cos{t}]^2[\sin{t}] \; \textcolor{orange}{dt} $$

$\cos{t} = k$ 라고 치환하여 적분하면 답은 $2\pi + \frac{2}{3}$ 이다.

 

 

곡선이 조각적으로 정의되었으면,

각 곡선 조각을 매개변수 방정식으로 표현한 후 구간을 나눠 적분하면 된다.

 

예제 2

곡선 $C$ 는 다음과 같은 조각 곡선 두 개로 이루어져 있다.
곡선1. $y = x^2, \quad 0 \le x \le 1 $
곡선2. $(1, 1)$ 과 $(1, 2)$ 를 잇는 선분
이 때 다음 선적분을 구하라
$$ \int_C 2x \; ds $$

곡선 1은 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

$$ \textbf{r}(x) = <x, x^2>, \quad x \in [0, 1] $$

편의를 위해 $x$ 대신 $t$ 라고 바꿔 쓰면 다음과 같이 $t$ 에 대한 매개변수 방정식이 된다.

$$ \textbf{r}(t) = <t, t^2> \quad t \in [0, 1] $$

이 곡선에 대한 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{ds} = \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \; dt = \textcolor{orange}{\sqrt{1 + 4t^2} \; dt} $$

$\textcolor{skyblue}{x}$ 에 해당하는 값이 $\textcolor{skyblue}{t}$ 이고 $\textcolor{skyblue}{y}$ 에 해당하는 값이 $\textcolor{skyblue}{t^2}$ 이므로

이를 모두 대입하면 곡선1 $\textcolor{limegreen}{C_1}$ 에서의 적분 식은 다음과 같다.

$$ \int_{\textcolor{limegreen}{C_1}} 2\textcolor{skyblue}{x} \; \textcolor{orange}{ds} = \int_0^1 2\textcolor{skyblue}{t} \textcolor{orange}{ \sqrt{1 + 4t^2} \; dt} $$

$1 + 4t^2 = k$ 라고 치환한 후 적분을 계산하면 결과는 $\dfrac{5\sqrt{5} - 1}{6}$ 이다.

 

 

 

 

곡선 2는 다음과 같이 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

$$ \textbf{r}(t) = <1, t>, \quad t \in [1,2] $$

이 곡선에 대한 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{ds} = \sqrt{0^2 + 1^2} \; dt = \textcolor{orange}{dt} $$

$\textcolor{skyblue}{x}$ 에 해당하는 값이 $\textcolor{skyblue}{1}$ 이고 $\textcolor{skyblue}{y}$ 에 해당하는 값이 $\textcolor{skyblue}{t}$ 이므로

이를 모두 대입하면 곡선2 $\textcolor{limegreen}{C_2}$ 에서의 적분 식은 다음과 같다.

$$ \int_{\textcolor{limegreen}{C_2}} 2x \; \textcolor{orange}{ds} = \int_1^2 2 \cdot \textcolor{skyblue}{1} \textcolor{orange}{dt} $$

계산하면 결과는 $2$ 이다.

 

 

 

따라서 곡선1 과 곡선2 의 결과를 더하여 답은

$$ \dfrac{5\sqrt{5} - 1}{6} + 2 $$

 

---

 

 

3차원에서의 선적분도 비슷한 방법으로 풀 수 있다.

선적분의 정의 (3차원)

$f$ 가 곡선 $C \; : \; \textbf{r}(t) = <x(t), \; y(t), \; z(t)>, \quad a \le t \le b$ 위에 정의된 삼변수 함수라 하자.
그러면 $f$ 의 곡선 $C$ 위에서의 선적분은 다음과 같다.
$$ \int_C f(x, y, z) \; ds = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i^*, y_i^*, z_i^*) \Delta s_i $$

 

마찬가지로 3차원상의 부분 곡선의 길이 $ds$ 는 다음과 같으므로

$$ \textcolor{orange}{ds} = \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2  + \left( \dfrac{dz}{dt} \right)^2 } \; dt $$

이를 대입하면 $t$ 에 대한 일변수 적분으로 표현할 수 있게 된다.

$$ \int_C f(\textcolor{skyblue}{x,y,z}) \; \textcolor{orange}{ds}  = \int_{a}^{b} f(\textcolor{skyblue}{x(t), y(t), z(t)}) \; \textcolor{orange}{ \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2  + \left( \dfrac{dz}{dt} \right)^2 } \; dt } $$

매번 이렇게 표현하는 것은 거추장스러우므로

다음과 같이 $\textbf{r}(t)$ 를 이용해 표현하는 것이 편하다.

$$ \int_a^b f(\textcolor{skyblue}{\textbf{r}(t)} ) \; \textcolor{orange}{| \textbf{r}'(t) | \; dt} $$

 

 

예제 3

곡선 $C$ 가 $\textbf{r}(t) = <\cos{t}, \sin{t}, t>, \quad t \in [0, 2\pi]$ 일 때, 다음 선적분을 계산하라
$$ \int_C y\sin{z} \; ds $$

주어진 $\textbf{r}(t)$ 에서 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ \textcolor{orange}{ds} = \sqrt{(-\sin{t})^2 + (\cos{t})^2 + 1^2} \; dt = \textcolor{orange}{\sqrt{2} \; dt} $$

$\textcolor{skyblue}{x = \cos{t}}$, $\textcolor{skyblue}{y = \sin{t}}$, $\textcolor{skyblue}{z = t}$ 이므로 이를 대입하면

$$ \int_C y\sin{z} \; ds = \int_0^{2\pi} \textcolor{skyblue}{\sin{t}} \sin{\textcolor{skyblue}{t}} \cdot \textcolor{orange}{\sqrt{2}\; dt}$$

계산하면 결과로 $\sqrt{2} \pi$ 를 얻는다.