스칼라장에서의 선적분(Line Integral on Scalar Fields)

일변수 함수에서 적분은 정의역이 직선형태였고 이 직선을 따라서 적분을 했었다.

평면 위의 곡선으로 정의된 정의역에 대해서도 구불구불하게 적분을 할 수 있지 않을까 생각해보자.

 

무슨 말이냐면, 일반적인 적분은 다음 그림과 같은데

 

정의역이 평면 위의 곡선이라면

다음 그림과 같이 적분할 수도 있지 않을까 생각해볼 수 있다는 말이다.

 

 

 

이러한 적분을 선적분(Line Integral) 이라고 부르는데,

(왜 곡선적분이 아니라 선적분인지는 알 수 없다.)

 

선적분을 정의하기 위해 다음과 같이 정의된 곡선 $C$ 를 고려하자.

$$C:x=x(t),y=y(t),a\le t\le b$$

이는 다음과 같은 벡터 함수로 생각할 수 있다.

$$\mathbf{\text{r}}(t)=<x(t),y(t)>$$

이 곡선이 부드러운 곡선이라고 하자.
다시 말 해 ${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }$ 가 연속이고 ${\mathbf{\text{r}}}^{\prime }(t)\ne 0$ 인 곡선이라고 하자는 것이다.

(일반적인 수학에서 말하는 smooth curve 랑은 다르다.)

 

일변수 리만 합으로 정의한 적분에서 우리는 적분 구간을 $n$ 등분하고

각 구간위의 임의의 점 $x_i^{\ast }$ 을 택하여

이 때의 함수값 $f(x_i^{\ast })$ 이랑 구간의 크기 $\mathrm{\Delta }x$ 를 곱한 것을

모든 구간에 대해 합하여 적분을 정의했었다.

 

 

비슷한 방법으로 곡선을 $n$ 등분하고

각 구간위의 임의의 점 $x_i^{\ast },y_i^{\ast }$ 를 택하여

이 때의 함수값 $f(x_i^{\ast },y_i^{\ast })$ 이랑 곡선 구간의 크기 $\mathrm{\Delta }{s}_i$ 을 곱한 것을  

모든 구간에 대해 합하면 곡선 위의 적분을 정의할 수 있을 것으로 보인다.

 

 

 

매개변수 $t$ 의 구간인 $[a,b]$ 를 $n$ 등분하여

$i$ 번째 구간을 $[t_{i-1},t_i]$ 라고 하고 $x_i=x(t_i),y_i=y(t_i)$ 라고 하자.

그러면 이에 대응하는 점 $(x_i,y_i)$ 들은 곡선 $C$ 를 서로 다른 길이로 $n$ 등분한다.

이 크기는 $\mathrm{\Delta }{s}_1,\mathrm{\Delta }{s}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{s}_n$ 이라 표현할 수 있다.

또, $i$ 번째 분할된 곡선위의 임의의 점을 택하고 이를 $(x_i^{\ast },y_i^{\ast })$ 라고 하자.

 

이제 $f$ 를 곡선 $C$ 가 포함된 영역 위에서 정의된 이변수 함수라고 하면

리만합을 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast },y_i^{\ast })\mathrm{\Delta }{s}_i$$

이제 양변에 $n\to \mathrm{\infty }$ 극한을 씌워주면 일변수 리만적분과 유사하게 선적분을 정의할 수 있다.

 

선적분의 정의 (2차원)

$f$ 가 곡선 $C:\mathbf{\text{r}}(t)=<x(t),y(t)>,a\le t\le b$ 위에 정의된 이변수 함수라 하자.
그러면 $f$ 의 곡선 $C$ 위에서의 선적분은 다음과 같다.
$${\int }_{C}f(x,y)ds=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast },y_i^{\ast })\mathrm{\Delta }{s}_i$$

 

변수 $s$ 에 대한 적분 $ds$ 인 상태로는 적분을 계산하기 어렵다.

왜냐하면, 피적분 함수 $f$ 가 $s$ 에 대한 함수가 아니기 때문에,

굳이 적분을 하자면 $f$ 를 $s$ 에 대한 함수로 변형을 시켜줘야 하기 때문이다.

그래서 대신 매개변수 $t$ 에 대해 적분하는 꼴로 변형시켜주면

$f$ 는 원래 $t$ 에 대한 함수이기도 하므로, 적분을 쉽게 할 수 있게 된다. 

 

곡선의 부분 길이 $ds$ 는 다음과 같이 표현될 수 있었다.

$$ds=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$$ 

이를 대입하면 정의에 표현된 선적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$${\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$$

이는 $t$ 에 대한 일변수 적분과 같으므로 계산하기가 수월하다.

 

 

 

예제 1

곡선 $C$ 가 $x^2+y^2=1$ 의 $x$ 축 위의 반원이라고 할 때
다음 선적분을 계산하라
$${\int }_{C}2+x^{2}yds$$

곡선 $C$ 를 우선 매개변수 방정식 형태로 표현해보자.

$\mathbf{\text{r}}(t)=<\cos t,\sin t>,0\le t\le \pi$ 이면 적당하다.

(다른 표현 방법이 있다면 다르게 표현해도 상관 없다.)

그러면 $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$ 이고 $ds$ 는

$$\begin{array}{rl}ds=& \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt\\ =& \sqrt{(-{\sin }^{2}t)+{\cos }^{2}t}dt\\ =& 1\cdot dt\end{array}$$

이므로 주어진 식은 다음과 같다.

$${\int }_{C}2+x^{2}yds={\int }_0^{\pi }2+[\cos t{]}^2[\sin t]dt$$

$\cos t=k$ 라고 치환하여 적분하면 답은 $2\pi +\frac{2}{3}$ 이다.

 

 

곡선이 조각적으로 정의되었으면,

각 곡선 조각을 매개변수 방정식으로 표현한 후 구간을 나눠 적분하면 된다.

 

예제 2

곡선 $C$ 는 다음과 같은 조각 곡선 두 개로 이루어져 있다.
곡선1. $y=x^2,0\le x\le 1$
곡선2. $(1,1)$ 과 $(1,2)$ 를 잇는 선분
이 때 다음 선적분을 구하라
$${\int }_{C}2xds$$

곡선 1은 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\mathbf{\text{r}}(x)=<x,x^2>,x\in [0,1]$$

편의를 위해 $x$ 대신 $t$ 라고 바꿔 쓰면 다음과 같이 $t$ 에 대한 매개변수 방정식이 된다.

$$\mathbf{\text{r}}(t)=<t,t^2>t\in [0,1]$$

이 곡선에 대한 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ds=\sqrt{(1{)}^2+(2t{)}^2}dt=\sqrt{1+4t^2}dt$$

$x$ 에 해당하는 값이 $t$ 이고 $y$ 에 해당하는 값이 $t^2$ 이므로

이를 모두 대입하면 곡선1 $C_1$ 에서의 적분 식은 다음과 같다.

$${\int }_{C_1}2xds={\int }_0^{1}2t\sqrt{1+4t^2}dt$$

$1+4t^2=k$ 라고 치환한 후 적분을 계산하면 결과는 ${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}-1}{6}}$ 이다.

 

 

 

 

곡선 2는 다음과 같이 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

$$\mathbf{\text{r}}(t)=<1,t>,t\in [1,2]$$

이 곡선에 대한 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ds=\sqrt{0^2+1^2}dt=dt$$

$x$ 에 해당하는 값이 $1$ 이고 $y$ 에 해당하는 값이 $t$ 이므로

이를 모두 대입하면 곡선2 $C_2$ 에서의 적분 식은 다음과 같다.

$${\int }_{C_2}2xds={\int }_1^{2}2\cdot 1dt$$

계산하면 결과는 $2$ 이다.

 

 

 

따라서 곡선1 과 곡선2 의 결과를 더하여 답은

$${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}-1}{6}}+2$$

 

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3차원에서의 선적분도 비슷한 방법으로 풀 수 있다.

선적분의 정의 (3차원)

$f$ 가 곡선 $C:\mathbf{\text{r}}(t)=<x(t),y(t),z(t)>,a\le t\le b$ 위에 정의된 삼변수 함수라 하자.
그러면 $f$ 의 곡선 $C$ 위에서의 선적분은 다음과 같다.
$${\int }_{C}f(x,y,z)ds=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast },y_i^{\ast },z_i^{\ast })\mathrm{\Delta }{s}_i$$

 

마찬가지로 3차원상의 부분 곡선의 길이 $ds$ 는 다음과 같으므로

$$ds=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dz}{dt}}\right)}^2}dt$$

이를 대입하면 $t$ 에 대한 일변수 적분으로 표현할 수 있게 된다.

$${\int }_{C}f(x,y,z)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dz}{dt}}\right)}^2}dt$$

매번 이렇게 표현하는 것은 거추장스러우므로

다음과 같이 $\mathbf{\text{r}}(t)$ 를 이용해 표현하는 것이 편하다.

$${\int }_a^{b}f(\mathbf{\text{r}}(t))|{\mathbf{\text{r}}}^{\prime }(t)|dt$$

 

 

예제 3

곡선 $C$ 가 $\mathbf{\text{r}}(t)=<\cos t,\sin t,t>,t\in [0,2\pi ]$ 일 때, 다음 선적분을 계산하라
$${\int }_{C}y\sin zds$$

주어진 $\mathbf{\text{r}}(t)$ 에서 $ds$ 는 다음과 같다.

$$ds=\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2+1^2}dt=\sqrt{2}dt$$

$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=t$ 이므로 이를 대입하면

$${\int }_{C}y\sin zds={\int }_0^{2\pi }\sin t\sin t\cdot \sqrt{2}dt$$

계산하면 결과로 $\sqrt{2}\pi$ 를 얻는다.