벡터장과 스칼라장(Vector Fields and Scalar Fields)

새로운 단원을 본격적으로 들어가기에 앞서

벡터장과 스칼라장에 대해 새롭게 알 필요가 있다.

 

벡터장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 벡터를 대응시킨 것이고

스칼라장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 스칼라 값을 대응시킨 것이다.

즉, 좌표를 정의역으로 갖고 벡터 또는 스칼라를 공역으로 갖는 함수인 것이다.

 

벡터장의 예로는

어떤 방 안에 공기의 흐름이 존재한다고 하자.

이 때 방 안의 모든 위치마다 바람의 방향, 세기가 존재할 것인데,

이를 각 좌표마다 대응되는 방향과 세기를 표시해준 것이 벡터장이다.

(벡터장은 앞서 배웠던 벡터함수 $\textbf{r}(t) = <x(t), y(t), z(t)>$  랑 실질적으로는 같은 것이다.

$t$ 변수를 생각하지 않고 $x,y,z$ 에 대한 함수라고 보면,

$\textbf{r}(t)$ 는 $\textbf{F}(x,y,z)$ 가 되고 이 것이 지금 설명하는 

어떤 공간의 좌표를 벡터에 대응시키는 벡터장이기 때문이다.)

 

스칼라장의 예로는

어떤 방 안에 온도 분포가 존재한다고 하자.

이 때 방 안의 모든 위치마다 온도가 서로 다르게 분포할 것인데,

이를 각 좌표마다 대응되는 온도를 표시해준 것이 스칼라장이다.

(사실, 1차원에서의 스칼라장도 우리가 흔히 알던 $y = f(x)$ 랑 일치하고

2차원 3차원에서의 스칼라장도 앞서 배웠던 이변수 함, 삼변수 함수랑 같은 것이다.)

 

 

벡터장의 정의 (3차원)

$E$ 가 $\mathbb{R}^3$ 의 부분집합이라고 하자.
$\mathbb{R}^3$ 위의 3차원 벡터장 $\textbf{F}$ 는
$E$ 위의 점 $(x, y, z)$ 를 3차원 벡터 $\textbf{F}(x, y, z)$ 로 대응시키는 함수이다.

스칼라장의 정의 (3차원)

$E$ 가 $\mathbb{R}^3$ 의 부분집합이라고 하자.
$\mathbb{R}^3$ 위의 3차원 스칼라장 $f$ 는
$E$ 위의 점 $(x,y,z)$ 를 어떤 값 $w \in \textbf{R}$ 로 대응시키는 함수이다.

이 것은 위에서 언급한 정의를 어려운 말로 표현한 것에 불과하다.

 

 

 

 

 

예제 1

다음 벡터장을 그리시오
$$ \textbf{F} = -y\textbf{i} + x\textbf{j} $$

모든 점에 대해 다 그릴 수 없으므로 정수 좌표에 대해서만 표기하자.

벡터장이 $\textbf{F}(x,y) = <-y, x>$ 이므로

 

$(0, 0)$ : $F = <0, 0>$

$(1, 0)$ : $F = <0, 1>$

$(0, 1)$ : $F = <-1, 0>$

$(-1, 0)$ : $F = <0, -1>$

$(0, -1)$ : $F = <1, 0>$

$\cdots$

 

이렇게 각 점에 대해 대응되는 벡터를 계산한 후 그림을 그려보면 다음과 같다.

 

 

다음은 컴퓨터 도구를 이용해 2차원 벡터장을 그린 예시이다.

 

 

 

아래는 컴퓨터 도구를 이용해 3차원 벡터장을 그린 예시이다.

 

 

 

벡터장 중에서 조금 특별한 벡터장이 있다.

 

벡터장 $\textbf{F}$ 가 어떤 스칼라 함수 $f$ 가 존재하여

$\textbf{F} = \nabla f = \left< \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} , \dfrac{\partial f}{\partial z} \right>$ 를 만족할 때 $\textbf{F}$ 는 보존적 벡터장이라고 부른다.

이 때 스칼라 함수 $f$ 는 포텐셜 함수라고 부른다.

 

보존적 벡터장은 추후 중요하게 다루어지므로 기억해두자.