벡터의 회전(Curl)과 발산(Div) (Curl and Divergence of Vectors)

이번 글에서는 이후 등장할 정리들을 간단한 기호로 표현할 수 있도록 하는 연산에 대해 설명한다.

회전과 발산의 정의가 왜 회전과 발산을 나타내는지는 다음 글을 참조하고

■ $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유

■ $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유

여기서는 정의와 계산법만 설명한다.

 

벡터의 회전(Curl)은 다음과 같이 정의된다.

벡터의 회전(Curl)

$\mathbb{R}^3$ 위에서 정의된 벡터장 $\textbf{F} = <P, Q, R>$ 가 있고
$P, Q, R$ 의 편미분이 모두 존재한다고 하자.
이 때 $\textbf{F}$ 의 회전(Curl) 은 다음과 같이 정의된다.
$$ \text{curl }{\textbf{F}} = \nabla \times \textbf{F} = \left<\left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right), \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right), \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \right>$$

 

이처럼 curl 의 결과는 벡터이다.

그리고 결과의 각 성분의 값은 각각 $x, y, z$ 축에 대한 반시계방향으로의 회전 정도를 나타낸다.

예를들어 $\text{curl } \textbf{F}(1, 2, 3) = <0, 1, -2>$ 라면

이 벡터장은 점 $(1, 2, 3)$ 위치에서 주변 벡터들이

$x$ 축에 대해서는 회전하지 않고

$y$ 축에 대해서는 $1$ 정도의 반시계방향의 회전성을 갖고

$z$ 축에 대해서는 $2$ 정도의 시계방향의 회전성을 갖는다는 의미다.

 

위 curl 의 정의는 그대로 외우기 어렵기 때문에 다음과 같이

미분기호 $\nabla$ 와 $\textbf{F}$ 의 외적을 직접 계산해서 구할 수도 있다.

$$ \begin{align} \nabla \times \textbf{F} = &\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ = &\left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} + \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right) \textbf{j} + \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \textbf{k} \end{align} $$

 

 

 

 

 

만약 $\textbf{F}$ 가 보존장이여서 어떤 스칼라 함수 $f$ 가 존재하여 $\textbf{F} = \nabla f$ 라면

$\text{curl } \textbf{F}$ 가 $\nabla \times \textbf{F}$ 라는 정의를 이용해 다음을 예상할 수 있다.

$$ \begin{align} \text{curl } \textcolor{orange}{\textbf{F}} = \text{curl } \textcolor{orange}{\nabla f} = &\nabla \times \textcolor{orange}{\nabla f} \\ = &(\nabla \times \nabla) f \\ = &\textbf{0} f \\ = &\textbf{0} \end{align} $$

왜냐하면 같은 벡터의 외적은 영벡터이기 때문이다.

이로부터 알 수 있는 사실은 보존장인 벡터의 회전은 영벡터라는 것이다.

curl 에 대한 정리 1

$f$ 가 삼변수 함수이고 연속인 이계 편미분이 존재한다면 다음이 성립한다.
$$ \text{curl } \nabla f = \textbf{0} $$

 

증명은 $\nabla \times \nabla f$ 를 직접 식을 전개해서 계산해보면 된다. 

참고로 우변은 영벡터지 스칼라 $0$ 이 아님을 주의하자.

이 정리는 대우명제로 curl 이 영벡터가 아니라면 벡터장은 보존장이 아니다 를 이용할 수도 있다.

 

이 정리의 역에 해당하는 정리가 있는데

이번에는 $\textbf{F}$ 가 $\mathbb{R}^3$ 전체에서 정의되어 있어야 하므로 조건이 좀 더 제한적이다.

curl 에 대한 정리 2

$\textbf{F}$ 가 $\mathbb{R}^3$ 에서 정의된 벡터장이고
벡터의 각 요소들이 연속인 편도함수를 가지며 $\text{curl } \textbf{F} = \textbf{0}$ 이면
$\textbf{F}$ 는 보존장이다.

 

이 정리의 증명은 스토크스 정리가 필요한데, 나중에 스토크스 정리를 설명할 때 다룰 것이다.

이 글의 마지막 부분 참조

 

 

 

정리하자면 다음과 같다.

curl 에 대한 정리 1에 의해 $\text{curl } \textbf{F} \neq \textbf{0}$ 이면 $\textbf{F}$ 는 보존장이 아니고

curl 에 대한 정리 2에 의해 $\text{curl } \textbf{F} = \textbf{0}$ 이면 $\textbf{F}$ 는 보존장이다.

참고로 이 정리들은 앞선 글의 정리1, 정리2의 좀 더 일반적인 형태라고 볼 수 있다.

 

 

 

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이번에는 벡터의 발산에 알아보자.

벡터의 발산(Div)

$\mathbb{R}^3$ 위의 벡터장 $\textbf{F} = <P, Q, R>$ 의 각 성분이 편미분계수가 존재하면
벡터장 $\textbf{F}$ 의 발산(Divergence)은 다음과 같이 정의한다.
$$ \text{div } \textbf{F} = \nabla \cdot \textbf{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z} $$

 

curl과는 달리 div의 결과는 벡터가 아닌 스칼라임을 인지하자.

div 연산의 결과값은 그 점 주위에서 벡터가 밖으로 뻗어나가는 정도를 의미한다.

예를 들어 $\text{div }\textbf{F}(1, 2, 3) = -7$ 이면

점 $(1, 2, 3)$ 위치에서 주변의 벡터들은 $7$ 의 정도로 중심으로 빨려들어가는 경향이 있음을 의미한다.

 

 

다음은 발산에 대한 하나의 정리이다.

발산에 대한 정리 1

$\mathbb{R}^3$ 위에서 정의된 벡터장 $\textbf{F}$ 의 각 성분이 연속인 이계 편도함수를 가지면 다음이 성립한다.
$$ \text{div curl }\textbf{F} = 0 $$

 

정리의 증명은 발산의 정의를 식으로 풀어서 계산하면 바로 보일 수 있다.

또는 이렇게 생각할 수도 있다.

$\text{div curl } \textbf{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \textbf{F})$ 인데

$ (\nabla \times \textbf{F})$ 의 결과는 $\nabla$ 와 $\textbf{F}$ 에 모두 수직인 벡터이고

이를 다시 $\nabla$ 와 내적하면 이루는 각이 직각이기 때문에 $0$ 이 나온다.

 

이 정리를 이용하면 어떤 벡터장이 curl 의 결과인지 아닌지 판단할 수 있다.

예를 들어 $\text{div }\textbf{F}$ 를 했더니 결과가 영벡터가 아닌 벡터였다면,

$ \textbf{F} = \text{curl } \textbf{G}$ 를 만족하는 벡터장 $\textbf{G}$ 는 존재하지 않는다는 의미이다.

 

 

 

 

 

 

■ $\text{curl}$ 과 $\text{div}$ 의 성질들

1. $ \nabla \cdot (\textbf{F} + \textbf{G}) = \nabla \cdot \textbf{F} + \nabla \cdot \textbf{G} $

2. $ \nabla \times (\textbf{F} + \textbf{G}) = \nabla \times \textbf{F} + \nabla \times \textbf{G}  $

3. $ \nabla \cdot (f \textbf{F}) = \nabla f \cdot \textbf{F} + f (\nabla \cdot \textbf{F}) $

4. $ \nabla \times (f \textbf{F}) = \nabla f \times \textbf{F} + f (\nabla \times \textbf{F}) $

5. $\nabla \cdot (\textbf{F} \times \textbf{G}) = \textbf{G} \cdot (\nabla \times \textbf{F}) - \textbf{F} \cdot (\nabla \times \textbf{G})$

6. $ \nabla \times (\nabla \times \textbf{F}) = \nabla (\nabla \cdot \textbf{F}) - \nabla^2 \textbf{F} $

1, 2 번은 분배법칙과 유사하고

3, 4 번은 미분에서의 연쇄법칙과 유사함을 발견하면 외우기 쉽다.