공데셍

이번에는 적분을 할 때 이용되는 또 다른 테크닉인 부분 적분을 소개한다. $x$ 에 대한 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해 미분 공식 중 곱의 공식은 다음과 같다. $$ \dfrac{d}{dx}[fg] = f'g + fg' $$ 이 식의 양변을 부정적분해주면 다음과 같다. $$ \begin{align} fg = &\int f'g + fg' \; dx \\ = &\int f'g \; dx + \int fg' \; dx \end{align} $$ 식을 재정렬하면 $$ \int f'g \; dx = fg - \int fg' \; dx$$ 여기서 $f$ 는 적분될 함수이고 $g$ 는 미분될 함수이다. 우리는 $f$ 가 적분되거나 $g$ 가 미분되면서 식이 더 간단해지길 바란다. 다음 예제를 통해 무슨 말인지 설명..

앞서 잘 알려진 함수들에 대한 부정적분 공식을 살펴보았다. 하지만 대부분의 경우에는 역도함수가 무엇인지 찾기 쉽지 않다. 예를 들어 다음 식의 역도함수는 무엇인지 바로 떠오르지 않을 것이다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx $$ 하지만 $1 + x^2 = u$ 라고 치환하면 $2x dx = du$ 이므로 다음과 같다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C $$ 이제 $u = 1 + x^2$ 를 대입해주어 부정적분을 마무리할 수 있다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \dfrac{2}{3}(1 + x^2)^{\fra..

미적분학의 기본정리를 통해 적분이 미분의 역연산임을 알 수 있었다. 이제는 역도함수를 적분의 기호를 통해 표현할 수 있다. 앞으로는 $f$ 의 역도함수 $F$ 를 다음과 같은 기호로 표현하기로 한다. $$ \int f(\textcolor{red}{x}) d\textcolor{red}{x} = F(\textcolor{red}{x}) $$ 예를 들면 $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ 이다. 정적분의 결과는 값이였던것과 달리 부정적분의 결과는 함수임을 인지하자. (정확히는 Family of function 이다.) 다음은 잘 알려진 함수들에 대한 적분 테이블이다. $$ \begin{align} \int k dx = & \; kx + C \\ \int x^n dx = & \; \df..

지금까지 글에서 함수 아래에 놓인 넓이를 계산하기 위해 정적분을 이용했었다. 그리고 미분은 그래프의 기울기를 계산하기 위해 이용했었었다. 이번에 소개할 뉴턴과 라이프니츠가(따로) 발견한 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)는 전혀 관련이 없어보였던 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 알려주는 정리이다. 미적분학의 기본정리를 설명하기 위해 다음과 같이 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$ 를 고려하자. $$ g(x) = \int_a^x f(t) \; dt $$ 여기서 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $x \in [a,b]$ 이다. 그러면 아래 그림과 같이 $g(x)$ 는 $x$ 값에 따라 달라지는 $f$ 아래에 놓인 넓이를 나타내는 함수임을 알 수 있다..

이번에는 앞서 정의한 정적분의 여러가지 성질에 대해서 알아보자. 1. 적분 구간을 뒤집으면 반대부호가 된다. $$ \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) dx = -\int_\textcolor{blue}{b}^\textcolor{red}{a} f(x) dx $$ 더보기 적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{b-a}{n}$ 였던 것이 $\dfrac{a - b}{n} = -\dfrac{b-a}{n}$ 로 바뀌므로 간단히 증명된다. 2. 구간의 크기가 $0$ 이면 적분 값은 $0$ 이다. $$ \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{red}{a} f(x) dx = 0 $$ 더보기 적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{..

이제 함수의 넓이를 구하는 문제로 가보자. 넓이(Area)의 가장 기본적인 정의는 가로(width) $\times$ 세로(height)이다. 삼각형의 경우 사각형의 절반의 넓이를 갖고, 다각형의 경우 여러 삼각형으로 나누어 계산한 후 합하여 넓이를 구할 수 있다. 하지만 다음과 같이 곡선이 포함된 닫힌 영역의 넓이는 바로 구할 수가 없다. 문제를 해결하기 위해 넓이를 대강 구하는 방법을 택해보자. 우선 다음과 같이 $f(x) = x^2$ 를 고려한다. $[0, 1]$ 의 구간을 4개로 쪼개어 다음과 같이 4개의 사각형의 넓이의 합은 곡선 아래의 넓이와 대강 비슷할 것이다. 각 사각형의 높이는 각 구간의 오른쪽 끝 점 $\textcolor{limegreen}{\dfrac{1}{4}, \; \dfrac{2}..

본 블로그의 미적분학 11번~16번 포스팅에 관한 연습문제이다. 11. 최댓값, 최솟값, 극값정리, 페르마 정리 12. 롤의 정리, 평균값 정리 13. 도함수 판정법 14. 점근선 15. 미분을 이용한 곡선 그리기 16. 역도함수 1. 다음 문장들이 참인지 거짓인지 판단하고 거짓이라면 거짓인 이유를 서술하시오. 1-1) If $f'(c) = 0$, then $f$ has a local maximum or minimum at $c$. 더보기 False. $f(x) = x^3$ 이면 $f'(0) = 0$ 이지만 $f$ 는 $0$ 에서 극대값도 극소값도 아니다. 왜냐하면 $0$ 을 기준 $x$ 값 좌우로 $f'(x) > 0$ 이므로 $f$ 는 $x=0$ 좌우에서 증가함수이고 따라서 국소적으로 최댓값 또는 최솟..

위 사진처럼 MonoBehaviour가 에메랄드색으로 표시가 안되고 GameObject 나 Image 처럼 유니티 내에서 정의되어있는 클래스들의 색이 안입혀지고 자동완성이 안될 때는 유니티랑 Visual Studio가 연결되어 있지 않기 때문에 일어나는 문제이다. 위 사진처럼 유니티 - Edit - Preference 에 들어가서 External Tools 로 들어가면 다음과 같은 창이 뜨는데 External Script Editor 을 Visual Studio Community (ㅇㅇ버전) 을 선택해주면 해결이 된다.

https://www.acmicpc.net/problem/11726 DP(Dynamic Programming) 의 가장 기초적인 문제이다. dp[i] 를 $2 \times i$ 칸까지 고려했을 때 타일을 깔 수 있는 모든 경우의 수라고 정의하자. $2 \times i$ 의 타일링을 만드는 경우의 수는 다음 그림과 같이 세가지 경로에서 올 수 있는데, 첫 번째 그림은 dp[i-1] 에 타일 하나를 이어붙이는 경우이고 두 번째 그림은 dp[i-2] 에 타일 두개를 눕혀 한 묶음으로 $2\times2$ 타일을 이어붙이는 경우이다. 이 중 마지막 경우는 사실 dp[i-1]에 포함이 되어있던 경우이므로 무시할 수 있다. 따라서 dp[i-1]에 한 타일을 이어붙인 한 가지 경우 + dp[i-2]에 두 타일을 눕혀 ..

이번 글은 수학적인 계산보다는 직관으로 푸는 방법에 대해 설명한다. 바로 본론으로 들어가면 시침의 각속도가 $0$ 이여서 멈춰있다면, 하루에 분침이 $24$ 바퀴 도므로 둘은 하루에 $24$번 만나게 된다. 반대로 시침이 분침만큼 빠르다면 둘은 만난상태로 계속 돌게되므로 시침과 분침이 서로 스쳐서 지나가는 경우는 하루에 $0$ 번이 된다. 실제의 시침은 이 두 가지 경우의 속도들의 사이에 있다. 첫 번째 경우보다 빠르고 두 번째 경우보다 느리다. 즉, 두 바늘은 하루에 $0$ 번 보다 많고 $24$ 번 보다 적게 만난다는 뜻이다. 이렇게 답이 $24$ 번이 아님을 직관적으로 알 수 있다. 왜냐하면 실제 시계의 시침은 하루에 두 바퀴 도는데, 시침의 속도가 $0$ 이였을 때와는 달리 느리게라도 도는 속도가..