$n-1$ 차원 밑면을 갖는 $n > 3$ 차원 뿔의 초부피

$\textcolor{skyblue}{2}$ 차원 도형인 삼각형에서

$L$ 은 밑변의 길이이고 $H$ 는 밑면과 수직인 높이라고 할 때 넓이는 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{2}}LH $$

 

$\textcolor{skyblue}{3}$ 차원 뿔의 부피는 밑면의 넓이를 $A$, 높이를 $H$ 라고 할 때 다음과 같다.

$$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{3}}AH $$

 

규칙이 보인다.

$n-1$ 차원의 밑면의 초부피가 $V$, 높이가 $H$ 인

$n$ 차원 뿔의 초부피는 다음과 같다고 예상할 수 있다.

$$ \dfrac{1}{n}VH $$

이를 증명해보기 위해 $2$ 차원에서부터 생각해보자.

 

 

 

$2$ 차원인 삼각형의 넓이를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축이라고 하고 삼각형 높이를 $H$, 밑변의 길이를 $L$ 이라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면의 길이를 $L(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$ h:L(h) = H:L \; \textcolor{red}{\Longrightarrow} \; \textcolor{limegreen}{L(h) = \dfrac{L}{H}h}$$

따라서 넓이는 다음과 같다.

$$ \begin{align} \text{Area} = &\int_0^H \textcolor{limegreen}{L(h)} \; dh \\ = &\int_0^H \dfrac{L}{H}h \; dh \\ = &\dfrac{L}{H} \left[ \dfrac{h^2}{2} \right]_0^H \\ = &\dfrac{1}{2}LH \end{align} $$

 

 

같은 방법으로 $3$ 차원 뿔에 대한 부피를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축으로 하고 뿔의 높이를 $H$, 밑면의 넓이를 $A$ 라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면의 넓이를 $A(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$ A(h) : h^2 = A : H^2 \; \textcolor{red}{\Longrightarrow} \; \textcolor{limegreen}{A(h) = \dfrac{A}{H^2}h^2}$$

따라서 부피는 다음과 같다.

$$ \begin{align} \text{Volume}_3 = &\int_0^H \textcolor{limegreen}{A(h)} \; dh \\ = &\int_0^H \dfrac{A}{H^2}h^2 \; dh \\ = &\dfrac{A}{H^2}\left[ \dfrac{h^3}{3} \right]_0^H \\ = &\dfrac{1}{3}AH \end{align} $$

 

 

역시 같은 방법으로 이번에는 $n > 3$ 차원 초-뿔에 대한 초부피를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축으로 하고 뿔의 높이를 $H$, 밑부피를 $V$ 라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면(입체이다)의 부피를 $V(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$ V(h) : h^{n-1} = V : H^{n-1} \; \textcolor{red}{\Longrightarrow} \; \textcolor{limegreen}{V(h) = \dfrac{V}{H^{n-1}} h^{n-1}} $$

따라서 초부피는 다음과 같다.

$$ \begin{align} \text{Volume}_n = &\int_0^H \textcolor{limegreen}{V(h)} \; dh \\ = &\int_0^H \dfrac{V}{H^{n-1}}h^{n-1} \; dh \\ = &\dfrac{V}{H^{n-1}}\left[ \dfrac{h^n}{n} \right]_0^H \\ = &\textcolor{red}{\dfrac{1}{n}VH} \end{align} $$

따라서 추측은 옳다.