개요
머리카락을 어깨 아래까지 기르고 있는 필자는, 기르는 동안 머리를 말릴 때 바닥에 떨어진 머리카락을 관찰하며 다음과 같은 사실을 발견할 수 있었다.
1. 시간당 빠지는 머리카락의 갯수는 평균 내면 거의 일정하다.
2. 따라서 머리가 길어질수록 빠지는 머리카락의 총량(부피)는 늘어난다.
이를 통해 머리카락이 길어질 수 있는 데는 한계가 있다는 생각을 하게 되었다.
왜냐하면, 생성되는 머리카락 부피는 일정한데, 빠지는 머리카락 부피는 점점 증가하기 때문에
알짜 머리카락 부피 증가량은 양수에서 시작해 점점 줄어들며 0에 수렴할 것이기 때문이다.
이를 증명하기 위해 각종 상수들을 설정한 후 식을 세워보니 다음과 같은 1계 선형미분방정식의 형태를 띈다는 것을 알 수 있었다.
$$ \dfrac{dV}{dt} + C_2V = C_1 $$
여기서 $V$ 는 특정 시간대의 머리카락의 총 부피이고 $C_1$ 과 $C_2$ 는 어떤 상수이다.
미분방정식을 풀어 해를 구하면 가정했던 명제 "머리카락이 길어질 수 있는데는 한계가 있다." 가 참임을 알 수 있었다.
본문
다음의 식에서 시작한다.
$$ \dfrac{dV}{dt} = V^+ - V^- \tag{1}$$
여기서 $V$ 는 특정 시간에 존재하는 머리카락의 총 부피이고
$V^+$ 는 시간당 증가하는 머리카락의 부피이고 $V^-$ 는 시간당 감소하는 머리카락의 부피이다.
우선 우변의 첫 번째 항을 보자. 특정 시간에 증가하는 머리카락의 총 부피는
시간당 머리카락이 생성되는 갯수 $\times$ 시간당 머리카락 하나가 자라는 양이라고 생각할 수 있다.
따라서 다음과 같다.
$$ V^+ = N^+Ah \tag{2}$$
여기서 $N^+$ 는 시간당 머리가 생성되는 갯수이고
$A$ 는 머리카락의 단면적으로써 상수이고 $h$ 는 시간당 머리카락이 자라는 평균 길이이다.
따라서 이 항은 상수이다.
이번엔 우변의 두 번째 항을 보자.
같은 논리로 $N^- Ah$ 라고 생각할 수 있지만, 주의해야 할 점이 있다.
시간당 빠지는 머리카락의 부피는 시간당 머리가 소멸되는 갯수 $\times$ 현재 머리카락 하나의 평균 부피인데
현재 머리카락의 평균 부피는 $Ah$ 가 아닌 $AH_{avg}(t)$ 라고 표현해야한다.
여기서 $H_{avg}(t)$ 는 특정 시간의 평균 머리카락 길이이다.
추가로 현재 머리카락 하나의 평균 부피는 현재 머리카락 전체 부피($V$) $\div$ 현재 머리카락 갯수($N$) 이므로
$$ AH_{avg}(t) = \dfrac{V(t)}{N} $$
이다.
$N$ 역시 상수인데, 왜냐하면 시간당 생성되는 머리카락 갯수($N^+$)와 시간당 소멸되는 머리카락갯수($N^-$) 가 일정하다고 가정할 것이기 때문이다.
즉 다음과 같이 정리된다.
$$ \begin{align} V^- &= N^- AH_{avg}(t) \\ &= N^- \dfrac{V}{N} \end{align} $$
가독성을 위해 식을 다시 적는다.
$$ V^- = \dfrac{N^-}{N}V \tag{3}$$
식 1에 식 2, 3을 대입하면 다음과 같다.
$$ \dfrac{dV}{dt} = N^+Ah - \dfrac{N^-}{N}V $$
우변의 첫 항은 상수라고 하였다. 이를 간단히 $C_1$ 이라고 부르자.
그리고 $N^+ > 0, \; A > 0, \; h > 0$ 이므로 $C_1 > 0$ 이다.
한편, $N^- > 0$ 이고 $N > 0$ 이기 때문에 우변의 $V$ 계수는 양수이다.
이를 간단히 $C_2 > 0$ 라고 부르자.
즉 다음과 같다.
$$ \dfrac{dV}{dt} + C_2V = C_1 $$
1계 선형 미분방정식이므로 적분인자법으로 해를 구한다.
적분인자가 $\mu = e^{\int C_2 dt} = e^{C_2t}$ 이므로
$$ [V\mu(t)]' = [Ve^{C_2t}]' = C_1e^{C_2t} $$
이고 양변을 부정적분하면
$$ \begin{align} Ve^{C_2t} &= \int_0^t C_1e^{C_2s} ds + C \\ &= \dfrac{C_1}{C_2}e^{C_2}t + C \end{align} $$
최종적으로 다음 식을 얻는다.
$$ V(t) = \dfrac{C_1}{C_2} + Ce^{-C_2}t $$
$C$ 를 구하기 위해 초기값 $V(0) = 0$ 을 대입한다. (왜냐면 생의 첫 시기에 머리카락 부피가 0이므로)
$$ V(0) = \dfrac{C_1}{C_2} + C = 0 $$
여기서 $\dfrac{C_1}{C_2} > 0$ 이므로 $C < 0$ 이다.
따라서 $Ce^{-C_2t}$ 는 증가하지만 증가율이 점점 감소하는 양상을 띄고
$V(t)$ 의 개형은 다음과 같이 나타난다.
머리카락의 갯수 $N$ 에 대해 $\dfrac{dN}{dt} = N^+ - N^-$ 는 상수라고 하였으므로 $N$ 이 일정하다고 했었다.
그리고 머리카락 부피 $V$ 는 갯수 $N$ 과 길이 $H_{avg}$ 의 곱인데 갯수가 상수이므로 오직 길이에 비례한다.
반대로 길이 역시 부피에 비례한다고 볼 수 있는데, 부피가 일정량 이상 증가하지 않으므로
머리카락 평균 길이도 일정 길이 이상 자라지 못한다고 볼 수 있다.
따라서 증명이 완료된다.
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