$n-1$ 차원 밑면을 갖는 $n > 3$ 차원 뿔의 초부피

$2$ 차원 도형인 삼각형에서

$L$ 은 밑변의 길이이고 $H$ 는 밑면과 수직인 높이라고 할 때 넓이는 다음과 같다.

$${\displaystyle \frac{1}{2}}LH$$

 

$3$ 차원 뿔의 부피는 밑면의 넓이를 $A$, 높이를 $H$ 라고 할 때 다음과 같다.

$${\displaystyle \frac{1}{3}}AH$$

 

규칙이 보인다.

$n-1$ 차원의 밑면의 초부피가 $V$, 높이가 $H$ 인

$n$ 차원 뿔의 초부피는 다음과 같다고 예상할 수 있다.

$${\displaystyle \frac{1}{n}}VH$$

이를 증명해보기 위해 $2$ 차원에서부터 생각해보자.

 

 

 

$2$ 차원인 삼각형의 넓이를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축이라고 하고 삼각형 높이를 $H$, 밑변의 길이를 $L$ 이라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면의 길이를 $L(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$h:L(h)=H:L⟹L(h)={\displaystyle \frac{L}{H}}h$$

따라서 넓이는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\text{Area}=& {\int }_0^{H}L(h)dh\\ =& {\int }_0^H{\displaystyle \frac{L}{H}}hdh\\ =& {\displaystyle \frac{L}{H}}{\left[{\displaystyle \frac{h^2}{2}}\right]}_0^H\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}LH\end{array}$$

 

 

같은 방법으로 $3$ 차원 뿔에 대한 부피를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축으로 하고 뿔의 높이를 $H$, 밑면의 넓이를 $A$ 라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면의 넓이를 $A(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$A(h):h^2=A:H^2⟹A(h)={\displaystyle \frac{A}{H^2}}{h}^2$$

따라서 부피는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\text{Volume}}_3=& {\int }_0^{H}A(h)dh\\ =& {\int }_0^H{\displaystyle \frac{A}{H^2}}{h}^{2}dh\\ =& {\displaystyle \frac{A}{H^2}}{\left[{\displaystyle \frac{h^3}{3}}\right]}_0^H\\ =& {\displaystyle \frac{1}{3}}AH\end{array}$$

 

 

역시 같은 방법으로 이번에는 $n>3$ 차원 초-뿔에 대한 초부피를 적분으로 계산해보자.

높이 방향을 $h$ 축으로 하고 뿔의 높이를 $H$, 밑부피를 $V$ 라고 하자.

임의의 높이 $h$ 에서의 단면(입체이다)의 부피를 $V(h)$ 라고 하면,

다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.

$$V(h):h^{n-1}=V:H^{n-1}⟹V(h)={\displaystyle \frac{V}{H^{n-1}}}{h}^{n-1}$$

따라서 초부피는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{\text{Volume}}_n=& {\int }_0^{H}V(h)dh\\ =& {\int }_0^H{\displaystyle \frac{V}{H^{n-1}}}{h}^{n-1}dh\\ =& {\displaystyle \frac{V}{H^{n-1}}}{\left[{\displaystyle \frac{h^n}{n}}\right]}_0^H\\ =& {\displaystyle \frac{1}{n}}VH\end{array}$$

따라서 추측은 옳다.