공데셍

이전까지는 일반적인 $y = f(x)$ 의 꼴로 표현되는 함수들의 미분에 대해 알아보았다. 이런 형태의 함수를 양함수 (Explicit function) 이라 부른다. 한편 다음과 같은 식에 대해서도 미분계수가 궁금할 수 있다. $$x^2 + y^2 = 9$$ 이 방정식은 반지름이 $3$인 원의 방정식으로 하나의 $x$ 값에 두 개의 $y$ 값이 대응되는 점들이 있으므로 함수가 아니다. 하지만 원의 방정식에도 분명 접선이 존재할것이고 이들의 기울기를 구하는 방법이 있을것으로 보인다. 위의 원의 방정식 처럼 $f(x, y) = 0$ 의 꼴로 표현되는 함수를 음함수 (Implicit Function) 라고 부른다. 음함수는 식의 정리를 통해 하나의 양함수로 풀 수 있는 경우도 있고 둘 이상의 양함수로 풀 수..

7. 미분 공식 (Differentiation Formulas) 에서 함수의 합에 대한 미분법칙, 곱에 대한 미분법칙, 차에 대한 미분법칙 등등 함수들의 대수적인 연산에 대한 미분법칙에 대해 알아보았었다. 이번 포스팅에서는 합성함수에 대한 미분법칙을 다루려고 한다. 참고로 이번 글은 평소보다 부연설명을 더욱 자세히 적어서 초보자들이 잘 이해 못하는 점들을 모두 해결해주는데 집중하였다. 핵심만 찾고자 한다면 전공책을 보는것이 나을 수도 있다. 미분계수는 그 점에서의 $\dfrac{y 순간 증가율}{x 순간 증가율}$ 로 정의되었었고 라이프니츠식 표기법으로 $\dfrac{dy}{dx}$ 로 표현된다는 것을 5. 함수의 기울기와 미분계수, 6. 도함수와 미분가능성 에서 알아보았었다. 이제 합성함수 $F(x) ..

이번 포스팅은 몇몇 함수들에 대한 미분 공식을 정리할 것이다. 상수함수, 거듭제곱함수에 대한 미분공식을 먼저 보인 후 상수배의 공식, 합의 공식, 차의 공식, 곱의 공식, 몫의 공식을 증명하여 확장해 나갈 것이며 마지막으로 이를 이용해 삼각함수의 미분공식을 유도해낼 것이다. 지수함수, 로그함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수에 대한 미분 공식은 이번 포스팅에서 다루지는 않는다. 아래에 정리된 공식들을 설명하고 증명한다. 상수함수 \((f(x) = c)\) $$ \dfrac{d}{dx}(c) = 0 $$ 증명 더보기 $$ \begin{align} f'(x) = &\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ = &\lim_{h \to 0} \dfrac{c - c}{..

이전 포스팅에서 함수 \(f\)의 고정된 값 \(a\) 에서의 미분계수에 대해 다뤘고 다음과 같은 식임을 알았다. $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ 그리고 자연스럽게 고정된 점이 아닌 임의의 점 \(x\) 에서의 미분계수도 생각해볼 수 있을것이다. 다음과 같이 \(a\) 대신에 \(x\) 를 대입함으로써 이를 구할 수 있다. $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \tag{f의 도함수} $$ 위 식을 잘 보자. 정의역의 \(x\) 라는 값이 들어가면 \(x\) 점의 미분계수가 되어 \(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\) 라는 값이 튀어 ..

곡선 \(C\) 가 \(y = f(x)\) 로 나타내어 진다고 하자. 이 곡선위의 점 \(P : (a, f(a))\) 과 첫번째 그림과 같이 곡선위의 \(P\) 가 아닌 또 다른 점 \(Q : (x, f(x))\) 를 설정하여 두 점을 이은 선분을 만들자. 이 선분의 기울기 \(m_{PQ}\)은 \(\dfrac{f 증가량}{x 증가량} \) 임을 알 수 있고 식으로는 다음과 같이 적는다. \(m_{PQ} = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) 그리고 두번째 그림처럼 \(x \to a\) 로 만들어 점 \(Q\) 가 점 \(P\) 와 가까워지게 만들 때, 이 선분 \(PQ\)의 기울기는 점 \(P\) 에서의 접선의 기울기라고 정의한다. 접선의 기울기 \(y = f(x)\) 로 표현되는 곡선..

1. 함수의 극한 (Limits of functions) 2. 극한의 엄밀한 정의, 엡실론 델타 논법(Epsilon-delta argument) 3. 극한법칙과 압축정리 (Limit laws and Squeeze Theorem) 4. 함수의 연속과 중간값 정리 (Continuity and Intermediate Value Theorem) 와 관련된 연습문제들을 모아놓은 포스트이다. 가급적 위 포스트들을 모두 공부한 후 풀어보기를 권장한다. 쉽게 풀이를 찾을 수 있는 기본 연습문제는 조금만 싣고 생각을 조금 해보아야 하는 문제들을 담았다. 초반 문제들은 부연설명을 자세하게 달았지만 뒤로 갈수록 핵심적인 내용 외의 설명은 생략했으므로 만약 이런 문제들을 처음 접한다면 초반 문제부터 순서대로 푸는것이 좋다. ..

이전 포스팅까지 함수의 극한에 대해 다루었다. \(x=a\)에서의 극한은 \(x = a\)를 내부에 두지만 포함하지 않아도 되는 어떤 열린 구간 \(I\)에서의 계산을 다루었었다. 즉 \( x=a \)에서의 함숫값은 \(x \to a\)의 극한이랑 아무 상관도 없다는 말이다. 따라서 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \neq f(a) \)인 경우도 있고 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)인 경우도 있는데, 후자의 경우를 만족하면 \( f(x)\)는 \(x=a\)에서 연속이다. 라고 정의한다. 연속의 정의 $ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $ 이면 $ f(x) $ 는 $a$에서 연속이다. 즉, 함수가 어떤 점 \(x=a\..

*모바일에서는 일부 수식이 잘려 안보일 수 있습니다 이전 포스팅에서는 간단한 함수에 대해 엄밀한 정의를 통해 극한을 계산하였다. 이제는 극한법칙을 이용해 복잡한 다항식이나 유리식의 극한을 계산하는 법을 알아볼 차례이다. 다음과 같은 극한 법칙이 알려져 있다. \(c\)가 실수이고 \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = L\), \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = M \)으로 모두 수렴한다면 $$ \begin{align} \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] =& &L \pm M& \\ \lim_{x \to a} cf(x) =& &cL& \\ \lim_{x \to a} f(x)g(x) =& &LM& \\ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x..

*모바일에서는 일부 수식이 잘려 안보일 수 있습니다 고교 수학에서 미적분학을 공부했으면 필히 함수의 극한에 대해 먼저 공부했을 것이다. 미분과 적분에 모두 함수의 극한 개념이 적용되기 때문이다. 뉴턴에 의해 미적분학의 기본정리가 발견되고 전혀 다른 분야로 발전해왔던 미분과 적분이 통합되면서 미적분학은 크게 발전하게 된다. 하지만 이 과정에서 극한을 계산할 때 어떨 때는 0에 한없이 가까워지는 수지만 0이 아닌것처럼 취급하여 분모에 들어가고 어떨 때는 0처럼 취급하여 계산에서 제외시키는 등 무한소를 다루는 명쾌한 방법을 내놓지 못한 채 미적분학이 발달하다 보니 적용 시키면 안되는 경우에 대해서도 미적분학을 적용시키는 사례도 있었다고 한다. 따라서 극한을 계산하는데 있어 좀 더 엄밀한 정의가 필요했고 19세..

*모바일에서는 일부 수식이 잘려 안보일 수 있습니다 직선상으로만 이동하는 어떤 자동차가 1시간만에 36km를 이동했다고 치자. 속력 = 거리/시간 이므로 우리는 이 자동차의 속력을 \( \frac{36km}{1h} = 36km/h\) \( =\frac{36\times1000 m}{1\times3600 s}\) \( = 10m/s\) 라고 계산한다. 하지만 자동차는 항상 같은 속력으로 이동한것만은 아닐테고 순간순간 다른 속력으로 이동한 거리들이 합쳐져서 한 시간동안 36km를 이동한 것이다. (논외지만 이 부분에서 적분의 개념을 떠올릴 수 있는가?) 평균 속력 말고 매 순간 순간의 속력은 어떻게 구할 수 있을까? 같은 아이디어를 1시간이라는 큰 범위가 아닌 1초라는 작은 범위로 좁혀 생각해보자. 자동차가 ..