공데셍

이제 함수의 넓이를 구하는 문제로 가보자. 넓이(Area)의 가장 기본적인 정의는 가로(width) $\times$ 세로(height)이다. 삼각형의 경우 사각형의 절반의 넓이를 갖고, 다각형의 경우 여러 삼각형으로 나누어 계산한 후 합하여 넓이를 구할 수 있다. 하지만 다음과 같이 곡선이 포함된 닫힌 영역의 넓이는 바로 구할 수가 없다. 문제를 해결하기 위해 넓이를 대강 구하는 방법을 택해보자. 우선 다음과 같이 $f(x) = x^2$ 를 고려한다. $[0, 1]$ 의 구간을 4개로 쪼개어 다음과 같이 4개의 사각형의 넓이의 합은 곡선 아래의 넓이와 대강 비슷할 것이다. 각 사각형의 높이는 각 구간의 오른쪽 끝 점 $\textcolor{limegreen}{\dfrac{1}{4}, \; \dfrac{2}..

본 블로그의 미적분학 11번~16번 포스팅에 관한 연습문제이다. 11. 최댓값, 최솟값, 극값정리, 페르마 정리 12. 롤의 정리, 평균값 정리 13. 도함수 판정법 14. 점근선 15. 미분을 이용한 곡선 그리기 16. 역도함수 1. 다음 문장들이 참인지 거짓인지 판단하고 거짓이라면 거짓인 이유를 서술하시오. 1-1) If $f'(c) = 0$, then $f$ has a local maximum or minimum at $c$. 더보기 False. $f(x) = x^3$ 이면 $f'(0) = 0$ 이지만 $f$ 는 $0$ 에서 극대값도 극소값도 아니다. 왜냐하면 $0$ 을 기준 $x$ 값 좌우로 $f'(x) > 0$ 이므로 $f$ 는 $x=0$ 좌우에서 증가함수이고 따라서 국소적으로 최댓값 또는 최솟..

고등학교 미적분학을 공부했다면 이번 글에서 소개하는 내용이 어쩌면 쓸 데 없다고 느껴질 수도 있다. 미분-적분이 역연산 관계라는 것을 알고 각종 적분 공식들을 기계적으로 암기해왔기 때문에 역도함수를 보고 "그냥 적분으로 바로 넘어가면 될 것이지 왜 굳이 챕터를 나눠서 설명한담?" 이라고 생각할 것이기 때문이다. 하지만 대학 과정의 수학을 공부하기로 마음 먹었다면, 수학을 기계적으로 시험 문제풀기 위한 용도라는 느낌을 던져버리고 수학이라는 거대한 논리 체계를 천천히 쌓아 올린다는 생각으로 임해야 한다. 이전 글까지 미분에 관련된 내용만 설명했지 적분이라는 단어는 아직 언급한적도 없고, 미분과 적분이 연결된 개념이라는 말도 전혀 한 적이 없다. 무(無)에서 쌓아 올린다는 느낌으로 이번 챕터는 적분이라는 존재..

이번 글에서는 지난 글 13. 도함수 판정법, 14. 점근선 에서 다룬 내용을 이용해 함수의 그래프를 그리는 법에 대해 다룬다. 순서가 엄격히 정해진 것은 전혀 아니지만 가장 찾기 쉬운 정보부터 표시하여 곡선을 이어가는 방식으로 진행된다. 1. 정의역 확인 2. $x$ 절편, $y$ 절편 표시 3. 대칭성 확인 4. 점근선 확인 5. 증가, 감소구간 찾기 6. 극대, 극솟값이 존재하는 점 찾기 7. 오목성을 확인하고 변곡점 찾기 8. (1~7) 정보를 토대로 곡선을 그리기 각각의 과정에 대해서 따로 자세히 설명하기 보다 예제를 통해 이해하는 것이 빠르다. 예제 다음 곡선을 그리시오 $$ y = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} $$ 더보기 1. 정의역 확인 이 함수는 유리함수이므로 분모가 $0$ 이..

무한히 뻗는 곡선에서 어떠한 직선과의 거리가 0으로 수렴해간다면 이 때의 직선을 점근선이라고 한다. 어떠한 함수의 곡선이 점근선을 가지는지 여부도 그 곡선의 특징을 나타내는 요소라고 할 수 있으므로 곡선을 그릴 때 점근선을 파악해야한다. 스튜어트 미분적분학에서는 다음 세 종류의 점근선을 다룬다. 수평점근선, 수직점근선, 경사점근선 이들을 각각 알아보자. 수평점근선 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 이거나 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ 이면 직선 $y = L$ 을 $f(x)$ 의 수평점근선(Horizontal asymptote)라 한다. 예시 1 $$y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ 위의..

미분을 이용하면 그래프의 개형을 파악하는데 도움이 된다. 13, 14번 글에서는 곡선을 그릴 때 미분을 이용하여 개형을 파악하는 도구들을 다룰 것이고 15번 글에서 이들을 종합하여 곡선을 그리는 예제들을 다룰 것이다. 이번 글에서 일계도함수, 이계도함수를 이용해 그래프의 개형을 파악하는데 도움을 주는 정리들을 알아보자. 1. 일계도함수를 이용한 판정법 미분가능한 함수라면 이 함수가 어떤 구간에서 증가 또는 감소하는지 판별할 수 있다. (참고) 함수의 증가, 감소의 정의 증가 어떤 구간 I에 속하는 임의의 $x_1, x_2$ 가 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 할 때, $f(x_1) < f(x_2)$ 가 항상 성립한다면 $f(x)$ 는 구간 $I$ 에서 증가라고 이야기 한다. 감소 어떤 구간 I에 속하..

롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f'(c) = 0$ 인 수 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다. 1. $f$ 는 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이다. 2. $f$ 는 개구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하다. 3. $f(a) = f(b)$ 증명 더보기 세 가지 경우가 있다. 1. $f(x) = k$, ($k$는 상수) 2. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) > f(a)$ 인 경우 3. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) < f(a)$ 인 경우 1번의 경우에는 $f'(x) = 0$ 이므로 $c$ 는 구간 $(a, b)$ 의 아무 점을 택하여도 성립한다. 2번의 경우에는 함수가 폐구간에서 연속이므..

이제는 앞서서 배운 미분을 이용해 함수의 개형을 파악하는 방법을 알아볼것이다. 자연과학 뿐만 아니라 사회과학, 경제학 등 다양한 분야에서 그래프의 개형을 파악하는것은 중요한 일이다. 그리고 이 과정에서 그래프의 최고점, 최저점이 어디인지 알아볼 필요도 있을 것이다. 이를 위해서 최댓값과 최솟값의 정의를 정확히 해 둘 필요가 있다. 최댓값, 최솟값의 정의 $c$ 가 $f$ 의 정의역 $D$ 에 속한 수라고 하자. 그러면 $f(c)$ 는 다음과 같다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \geq f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최댓값이다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \le f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최솟값이다. 그리고 정의역 전체에서 최댓값 최..

5. 함수의 기울기와 미분계수 (Slope and Derivative of a function) 6. 도함수와 미분가능성 (Derivative and Differentiability) 7. 미분 공식 (Differentiation Formulas) 8. 연쇄법칙과 증명 (Chain Rule) 9. 음함수의 미분법 (Implicit Differentiation) 10. 선형근사 (Linear Approximation) 와 관련된 문제들을 모아놓은 포스트이다. 가급적 위 포스트들을 모두 공부한 후 풀어보기를 권장한다. 좋은 문제들을 찾게된다면 추후에 계속 추가될 수 있다. 1. 다음 함수에서 $f'(0)$ 이 존재하는지 그렇지 않은지 결정하라. (스튜어트 연습문제) $$ f(x) = \begin{cases}..

과학이나 공학에서는 때때로 정확한 값 보다는 적은 노력으로 꽤 근접한 유사값을 찾아낼 수 있다면 그것을 높이 평가하기도 한다. 쉬운 예로 $y = \sin{x}$ 가 $x=0$ 에서 $\sin{0} = 0$ 임은 알지만 $\sin{(0.2)}$ 가 무엇인지 알고자 한다면 이는 쉽지 않다. 한참 나중에 소개하게 될 $\sin{x}$ 의 테일러 전개에 의해 $$\sin{x} = x - \dfrac{1}{3!}x^{3} + \dfrac{1}{5!}x^5 - \dfrac{1}{7!}x^7 + \cdots $$ 로 표현되는 식에 $0.2$ 를 대입하여 한없이 긴 계산을 해야할 것이다. 하지만 선형근사라는 방법을 이용하면 복잡한 계산없이 간단하게 근삿값을 구할 수 있게 된다. 핵심 아이디어는 아래 그림과 같이 $x..