스칼라 함수의 면적분(Surface Integrals on Scalar Functions)

앞서 선적분에 대해 소개한 바가 있다.

원활한 이해를 위해 아래 글들을 한 번 읽고 오는 것을 추천한다.

스칼라장에서의 선적분

벡터장에서의 선적분

 

선적분이 매개변수로 표현된 곡선을 경로 삼아 함수를 적분하는 것이였다면,

이번에 소개할 면적분은 매개변수로 표현된 곡면을 적분 영역 삼아 함수를 적분하는 것이다.

 

선적분에서 스칼라 함수(스칼라장)의 선적분, 벡터 함수(벡터장)의 선적분 두 종류 있었 듯이

면적분에도 스칼라 함수(스칼라장)의 면적분, 벡터 함수(벡터장)의 면적분 두 종류를 다룬다.

이번 글에서는 스칼라 함수의 면적분에 대해 다룬다.

 

 

우선 이해를 돕기 위해 잠시 선적분을 복습하고 넘어가자.

삼변수 스칼라 함수의 선적분은 다음과 같이 표현되었음을 떠올리자

$$ \int_C f(x,y, z) \; ds $$

여기서 곡선 $C$ 는 다음과 같이 표현되는 벡터함수이고

$$ \textbf{r}(t) = <x(t), \; y(t), \; z(t)> $$

$ds$ 는 이 곡선의 미소 길이이며 다음과 같이 표현할 수 있었다.

$$ \textcolor{skyblue}{ds} = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dz}{dt} \right)^2 } \; dt = \textcolor{skyblue}{|\textbf{r}'(t)| \; dt} $$

따라서 선적분 식을 매개변수인 $t$ 에 대해 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있었다.

$$ \int_C f(x,y,z) \; \textcolor{skyblue}{ds} =  \int_{t_a}^{t_b} f(\textbf{r}(t)) \textcolor{skyblue}{|\textbf{r}'(t)| \; dt} $$

 

 

 

비슷하게 삼변수 스칼라 함수의 면적분은 다음과 같이 적는다.

$$ \iint_S f(x,y,z) \; dS $$

여기서 곡면 $S$ 는 다음과 같이 표현되는 벡터함수이고

$$ \textbf{r}(u, v) = <x(u,v), \; y(u, v), \; z(u,v)> $$

$dS$ 는 이 곡선의 미소 면적이며 다음과 같이 표현할 수 있다. (이 글의 매개변수 곡면의 넓이 파트 참조)

$$ \textcolor{skyblue}{dS} = \textcolor{skyblue}{|\textbf{r}_u(u, v) \times \textbf{r}_v(u, v)| \; du dv} $$

따라서 면적분 식을 매개변수인 $u, v$ 에 대해 표현하면 다음과 같다.

$$ \iint_S f(x,y,z) \; \textcolor{skyblue}{dS} = \iint_D f(\textbf{r}(u,v)) \textcolor{skyblue}{|\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v| \; du dv} $$

좌변에는 적분 영역이 $S$ 였는데 우변에서는 $D$ 로 바뀐 것에 대해 의문을 가질 수 있다.

 

좌변은 적분 변수가 미소 곡면 $dS$ 이므로

적분하고자 하는 범위가 곡면 위에 놓인 영역이라서 $S$ 라고 표현을 한 것이고

 

우변은 적분 변수가 미소 넓이 $dA = du dv$ 이므로

적분하고자 하는 범위가 곡면이 아닌 $u v$ 평면 위에 놓인 영역이라서 다르게 표현하고자 $D$ 를 쓴 것이다.

치환 적분을 할 때, 새로운 변수에 대해 적분 구간을 새로 써주는 것과 같은 이치이다.

 

 

 

 

한편, 면적분에서 피적분함수가 $f(x,y,z) = 1$ 이라면 식은 다음과 같이 쓰여지고

$$ \iint_S 1 \; dS = \iint_D |\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v| \; dA $$

이 글에서 보았듯 이는 곡면 $S$ 의 넓이를 나타내는 식이다.

 

 

 

예제 1

곡면 $S$ 가 $z = x + y^2, \; 0 \le x \le 1, \; 0 \le y \le 2$ 일 때
다음 면적분을 계산하라
$$ \iint_S y \; dS $$

$u, v$ 얘기하다가 갑자기 $x, y$ 얘기가 나왔다고 해서 당황할 필요가 없다.

단지 $u, v$ 대신 $x, y$ 를 썼다는 관점으로 바라본다면

 

곡면의 $x$ 성분은 그냥 $x$

곡면의 $y$ 성분도 그냥 $y$

곡면의 $z$ 성분은 $x + y^2$ 로 표현되었다고 볼 수 있고

 

따라서 주어진 곡면을 $x, y$ 에 대한 벡터함수로 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

$$ \textbf{r}(x, y) = <x, \; y, \; x + y^2> $$

 

미분해보면 $\textbf{r}_x$, $\textbf{r}_y$ 는 각각 다음과 같고

$$ \begin{cases} \textbf{r}_x = <1, \; 0, \; 1> \\ \textbf{r}_y = <0, \; 1, \; 2y> \end{cases} $$

이 둘을 외적하면

$$ \textbf{r}_x \times \textbf{r}_y = <-1, \; -2y, \; 1> $$

마지막으로 절댓값을 씌워주면 다음과 같이 계산 된다.

$$ |\textbf{r}_x \times \textbf{r}_y| = \sqrt{2 + 4y^2} $$

 

 

이를 대입하면 주어진 면적분을 계산할 수 있다.

$$ \begin{align} \iint_S y \; dS = &\iint_D y |\textbf{r}_x \times \textbf{r}_y| \; dA \\ = &\int_0^1 \int_0^2 y\sqrt{2+4y^2} \; dydx \\ = &\int_0^1 \int_2^{18} \dfrac{1}{8}\sqrt{k} \; dkdx = \textcolor{royalblue}{\dfrac{13\sqrt{2}}{3}} \end{align} $$

 

 

예제 2

곡면 $S$ 가 다음 세 곡면으로 유계된 영역의 경계일 때
$$ \begin{cases} y^2 + z^2 = 9 \\ x=0 \\ x+y=5 \end{cases} $$
다음 면적분을 계산하라
$$ \iint_S xz \; dS $$

이해를 돕기 위해 곡면의 그림을 그려보면 다음과 같다.

 

 

위 그림에서 보이듯 $S$ 는 다음과 같이 세 곡면 $S_1, S_2, S_3$ 으로 이루어져있다.

 

1. $S_1$ : 잘린 원통의 밑면 (그림에서 주황 면과 푸른 원통이 만나서 생기는 원형 면)

2. $S_2$ : 잘린 원통의 옆면

3. $S_3$ : 잘린 원통의 비스듬히 잘린 윗면 (그림에서 빨간 면과 푸른 원통이 만나서 생기는 타원형 면)

 

각 곡면에 대해 각각 면적분을 한 후 더해주면 요구하는 $S$ 위에서의 면적분을 계산하게 되는 것이다.

 

 

 

1. 잘린 원통의 밑면

 

원형 영역이므로 원통 좌표계를 이용하면 편할 것이다.

우선 곡면 $S_1$ 을 다음과 같이 $r, \theta$ 에 대한 매개 곡면으로 표현하자.

$$ S_1 : \textbf{r}(r, \theta) = <0, \; r\cos{\theta}, \; r\sin{\theta}>, \quad 0 \le r \le 3, \quad 0 \le \theta \le 2\pi $$

 

한편, $f(x,y) = xz$ 라고 하면 계산해야하는 식은 다음과 같은데

$$ \iint_{S_1} xz \; dS = \iint_D f(\textbf{r}(r, \theta)) |\textbf{r}_r \times \textbf{r}_{\theta}| \; dA $$

$ f(\textbf{r}(r, \theta)) = xz= (0)(r\sin{\theta}) = 0 $ 이므로 적분을 계산할 필요도 없이 $0$ 임을 알 수 있다.

(사실 방금 곡면 $S_1$ 을 표현할 필요도 없이 $S_1$ 의 $x$ 성분이 $0$ 이므로
피적분 함수인 $xz$ 가 $0$ 이 되는걸 알 수 있지만, 곡면을 어떻게 표현할지 모를 독자를 위해 굳이 적어보았다.)

$$ \therefore \iint_{S_1} xz \; dS = 0 $$

 

 

 

2. 잘린 원통의 옆면

 

원통 옆면의 방정식이 $y^2 + z^2 = 9$ 이므로 $y, z$ 를 다음과 같이 두자.

$$ \begin{cases} y = 3\cos{\theta} \\ z = 3\sin{\theta} \end{cases} $$

이 때 $x$ 값은 원통의 방정식인 $y^2 + z^2 = 9$ 에 의존하지 않는 변수이므로 그냥 새로운 변수로써 둘 수 있다.

 

하지만 원통이 잘려 있으므로 곡면 $S_2$ 의 $x$ 범위는 제한되어 있는데,

그림에서 보듯 $x$ 는 $0$ 부터 $5-y$ 까지 제한되어 있다.

위에서 $y = 3\cos{\theta}$ 로 표현하기로 했으므로 이를 이용하면 $x$ 의 범위를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ 0 \le x \le 5-3\cos{\theta} $$

 

이를 모두 고려하면 원통의 옆면인 곡면 $S_2$ 는 다음과 같은 매개 곡면으로 표현할 수 있다.

$$ S_2 : \textbf{r}(\theta, x) = <x, \; 3\cos{\theta}, \; 3\sin{\theta}>, \quad 0 \le x \le 5-3\cos{\theta}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi $$

이 벡터함수의 $x, \theta$ 에 대한 편미분은 다음과 같이 계산된다.

$$ \begin{cases} \textbf{r}_x = <1, \; 0, \; 0> \\ \textbf{r}_{\theta} = <0, \; -3\sin{\theta}, \; 3\cos{\theta}> \end{cases} $$

둘을 외적하면 다음과 같고

$$ \textbf{r}_x \times \textbf{r}_{\theta} = <0, \; -3\cos{\theta}, \; -3\sin{\theta}> $$

이 벡터의 크기를 구해주면 다음과 같다.

$$ |\textbf{r}_x \times \textbf{r}_{\theta}| = 3 $$

 

이를 이용하여 면적분을 계산해 보자.

$$ \begin{align} \iint_{S_2} xz \; dS = &\iint_D x(3\sin{\theta}) (3) \; dx d \theta \\ = &\int_0^{2\pi} \int_0^{5-3\cos{\theta}} 9x \sin{\theta} \; dx d \theta \\ = &\int_0^{2\pi} \dfrac{9}{2}\sin{\theta} (9\cos^2{\theta} -30\cos{\theta} + 25) \; d\theta \end{align} $$

여기서 $\cos{\theta} = t$ 로 치환하면 적분 구간이 $[0, 0]$ 이 되므로 적분 결과는 $0$ 임을 바로 알 수 있다.

$$\therefore \iint_{S_2} xz \; dS = 0 $$

 

 

 

3. 잘린 원통의 비스듬히 잘린 윗면

 

이 곡면($S_3$) 은 $x = 5-y$ 위에 놓여 있으므로 다음과 같은 매개 곡면으로 표현할 수 있다.

$$ \textbf{r}(y, z) = <5-y, \; y, \; z> $$

$y, z$ 에 대한 편미분은 다음과 같고

$$ \begin{cases} \textbf{r}_y = <-1, \; 1, \; 0> \\ \textbf{r}_z = <0, \; 0, \; 1> \end{cases} $$

둘을 외적하면

$$ \textbf{r}_y \times \textbf{r}_z = <1, 1, 0> $$

그리고 이 벡터의 크기는 다음과 같다.

$$ |\textbf{r}_y \times \textbf{r}_z| = \sqrt{2} $$

 

이를 이용하여 면적분을 계산해 보자.

$$ \begin{align} \iint_{S_3} xz \; dS = &\iint_D (5-y)z(\sqrt{2}) \; dydz \\ = &\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \sqrt{2}(5-r\cos{\theta})r\sin{\theta} \; rdrd\theta \\ = &\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^3 5r^2\sin{\theta} - r^3\sin{\theta}\cos{\theta} \; dr d\theta \\ = &\sqrt{2}\int_0^{2\pi} 45\sin{\theta} - \dfrac{81}{4}\sin{\theta}\cos{\theta} \; d\theta \\ = &\sqrt{2}\int_0^{2\pi} 45\sin{\theta} - \dfrac{81}{8}\sin{2\theta} \; d\theta = 0 \end{align} $$

(여기서 두 번째 줄로 넘어갈 때 $y = r\cos{\theta}, \; z = r\sin{\theta}$ 로 치환하는 변수변환을 이용했다.)

$$ \therefore \iint_{S_3} xz \; dS = 0 $$

 

 

 

따라서 답은 다음과 같다.

$$ \begin{align} \iint_{S} xz \; dS = &\iint_{S_1} xz \; dS + \iint_{S_2} xz \; dS + \iint_{S_3} xz \; dS \\ = &0 + 0 + 0 \\ = & 0 \end{align} $$