5. 완전 미분방정식 (Exact Differential Equation)

 

이번에는 일계 미분방정식 중 '완전 미분방정식' 이라 불리는 미분방정식에 대해 알아보고

그 풀이법에 대해서도 알아볼 것이다.

 

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다음과 같은 미분방정식은 선형이 아니라서 적분인자 방법으로 풀 수도 없고

변수를 분리가능하지도 않아서 그렇게 풀 수도 없다.

$$ 2x + y^2 + 2xyy' = 0 $$

 

그런데 $ \psi(x, y) = x^2 + xy^2 $ 라는 함수를 상정해보면

$\textcolor{skyblue}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} = 2x + y^2 } $ 이고, $ \textcolor{orange}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial y} = 2xy } $ 이다.

그러면 주어진 미분방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$ \left[ \textcolor{skyblue}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} } + \textcolor{orange}{ \dfrac{\partial \psi}{\partial y} } \dfrac{dy}{dx} \right] = 0 $$

 

이번엔 $\psi$를 미분해보자. 이변수함수이므로 전미분(total differentiation)을 해야한다.

$d \psi = \dfrac{ \partial \psi }{ \partial x } dx + \dfrac{ \partial \psi }{ \partial y } dy$ 이므로

$ \dfrac{ d \psi }{ d x } = \dfrac{ \partial \psi }{ \partial x } \dfrac{dx}{dx} + \dfrac{ \partial \psi }{ \partial y } \dfrac{dy}{dx} $ 인데,  $x$ 를 $x$ 에 대해 미분한 값은 $1$ 이므로

 

$ \dfrac{ d \psi }{ d x } = \left[ \dfrac{ \partial \psi }{ \partial x } + \dfrac{ \partial \psi }{ \partial y } \dfrac{dy}{dx} \right] $ 이다.

 

즉, 주어진 미분방정식은 사실 다음 식과 같은 것이였다는 말이다.

$$ \dfrac{ d \psi }{d x} = 0 $$

 

이제 양변을 $x$ 에 대해 적분하면 다음 식을 얻는다.

$$ \psi (x, y) = x^2 + xy^2 = C $$

이것은 주어진 미분방정식의 음함수 형태로 표현된 해이다.

 

 

 

 

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위의 예제처럼 어떤 이변수함수 $\psi(x,y)$ 가 존재하고 $y$ 가 $x$ 에 대해 미분가능한 함수라고 할 때,

$\dfrac{d \psi}{dx} = 0$ 으로 표현될 수 있는 미분방정식을 '완전 미분방정식'이라고 부른다.

완전미분방정식에 대한 정리

$x$ 와 $y$ 에 대한 이변수 함수 $M, \; N, \; M_y, \; N_x$ 가 직사각영역 $R : \alpha < x < \beta, \quad \gamma < y < \delta$ 에서 연속이라고 하자. (여기서 아래첨자는 편도함수를 의미한다.) 그러면 다음 식
$$ M(x, y) + N(x, y) y' = 0 \tag{1}$$
은 영역 $R$ 내의 모든 점에서 조건 $(2)$ 을 만족하는 것은 식 $(1)$ 이 완전 미분방정식인 것의 필요충분조건이다.
$$M_y(x,y) = N_x(x,y) \tag{2} $$

식 $(1)$ 이 완전 미분방정식이라는 것은 다음을 만족하는 함수 $ \psi(x,y) $ 가 존재한다는 말과 같다.
$$ \psi_x(x,y) = M(x,y), \quad \psi_y(x,y) = N(x,y) $$

 

 

괜히 어려운 말로 풀어 쓴 것 같지만, 이 정리는 완전미분방정식의 풀이 절차를 제시하고 있다.

어떤 미분방정식을 $M + Ny' = 0$ 꼴로 정리했을 때

$M_y = N_x$ 인지 확인하고 만약 맞다면 완전 미분방정식이므로

$M$ 을 $x$ 에 대해 적분하거나 $N$ 을 $y$ 에 대해 적분하여

해 $\psi$ 를 얻을 수 있다는 얘기이다.

($y'$ 에 붙은 식이 $N$ 이고 아닌 것이 $M$ 이다. 잘 구분해야 한다. 무엇에 대한 편미분인지도 잘 구분하자.)

($M + Ny' = 0$ 꼴로 정리하는 방법이 유일한 것이 아니라서

어떻게 정리하냐에 따라서 답이 잘 얻어질 수도 아닐 수도 있다.

당장 양변을 M으로 나눠 $1 + \frac{N}{M}y' = 0$ 라고 해버리면

$M^* = 1, \; N^* = \frac{N}{M}$ 인 새로운 $M^* + N^*y' = 0$ 꼴이 나오는데,

이 경우 $M^*_y \neq N^*_x$ 일 것이라서 원하는 풀이대로 진행할 수가 없다.

무슨 말인지 모르겠으면 일단은 무시하고 넘어가자.) 

 

명제가 필요충분조건이므로 양방향으로 증명해야한다.

우선 함수 $\psi$ 가 존재하여 $\psi_x = M, \; \psi_y = N$ 을 만족하면 $M_y = N_x$ 임을 보이자

 

$M_y, \; N_x$ 가 연속이라는 얘기는 $\psi_{xy}, \; \psi_{yx}$ 역시 연속이라는 얘기다. ($ \psi_x = M $ 이고 $\psi_y = N$ 이므로.)

그러면 클레로의 정리(Clairaut's Theorem)에 의해 $\psi_{xy} = \psi_{yx}$ 를 만족한다.

즉, $M_y = N_x$ 이다.

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이번엔 $M_y = N_x$ 이면 $M + Ny' = 0$ 가 완전 미분방정식임을  보이자.
다른 말로, $\psi_x = M, \; \psi_y = N$ 을 만족하는 $\psi$ 가 존재하는지 보이는 것이다.

 

결론에 표현된 $\psi$ 가 존재한다면, $\psi_x = M$ 의 양변을 $x$ 에 대해 적분하여 다음 식을 얻을 수 있어야 한다.

$$ \psi(x,y) = \int_{x_0}^{x} M(s, y) ds + h(y) \tag{1} $$

$x$ 에 대해 적분하였으므로 오직 $y$ 에 관한 함수 $h(y)$ 가 적분 상수로 등장했다.

 

여기서 끝이 아니다. 아직 결론에 표현된 $\psi$ 조건을 다 만족시키지 않았기 때문이다.

$\psi_y = N$ 역시 만족시켜야 하므로, 식 ($1$) 양변을 $y$ 에 대해 미분시키고 $N$ 이랑 같다고 두자.

$$ \psi_y(x,y) = \dfrac{\partial}{\partial y} \int_{x_0}^{x} M(s, y) ds + h'(y) = N(x,y) $$

$h'(y)$ 에 대해 정리하면 다음을 얻는다.

$$ h'(y) = N(x, y) - \dfrac{\partial}{\partial y} \int_{x_0}^{x} M(s, y) ds \tag{2} $$

 

오직 $y$ 에 관한 함수였던 $h(y)$ 에서 유도된 $h'(y)$ 는 오직 $y$ 에 관한 함수여야 하는데,

$N$ 과 $M$ 의 적분으로 표현된 식은 $x$ 에 관해서도 연관되어 있을 가능성이 있는 식이다.

만약 $h'$ 가 오직 $y$ 에 관한 식임이 보장되지 않는다면, 처음에 상정했던 $\psi$ 도 존재하지 않게 된다.

 

이 함수가 오직 $y$ 에 관한 함수라면, $x$ 로 편미분 하였을 때 $0$ 이 나와야 한다.

식 $(2)$ 의 우변을 $x$ 에 대해 편미분하면 다음과 같다.
$$N_x - \dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y} \int_{x_0}^{x} M(s, y) ds $$

 

한 편, $M$, $M_y$ 가 연속이라고 하였으므로

라이프니츠 적분규칙에 의해 $y$ 편미분이 적분 안에 들어갈 수 있다.
$$ N_x - \dfrac{\partial}{\partial x} \int_{x_0}^{x} M_y(s, y) ds $$

$$ \Longrightarrow N_x - M_y = 0 \; \text{(주어진 조건)}$$

 

즉, 주어진 조건 $N_x = M_y$ 이 있는 한 $h'(y)$ 가 $x$ 랑 연관될 가능성은 없고
따라서 $\psi = \int_{x_0}^{x} M(s, y) ds + h(y)$ 로 표현되는 것은 오류가 없다. 

이 것이 조건을 만족하는 $\psi$ 가 존재함을 보증해준다.

 

 

 

 

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다음은 완전 미분방정식 조건을 잘 만족하는 경우이다.

$$ \textcolor{orange}{(y\cos{x} + 2xe^y)} + \textcolor{skyblue}{(\sin{x} + x^2 e^y - 1)}y' = 0 $$

 

다음이 성립하기 때문이다.

$\dfrac{\partial}{\partial y}\textcolor{orange}{(y\cos{x} + 2xe^y)} = \cos{x} + 2xe^y$

$\dfrac{\partial}{\partial x}\textcolor{skyblue}{(\sin{x} + x^2 e^y - 1)} = \cos{x} + 2xe^y$

 

이제 $\psi$ 를 구해보자.

완전 미분방정식이므로 오렌지 색 식은 함수 $\psi$ 가 존재하여 $x$ 에 대해 편미분 한 식이어야 한다.

원함수를 구하기 위해 양변을 $x$ 에 대해 적분하면 $\psi(x, y) = y\sin{x} + x^2 e^y + h(y)$ 를 얻는다.

 

이 것의 양변을 $y$ 에 대해 미분하면 $\sin{x} + x^2 e^y + h'(y)$ 이고

이 것이 $\sin{x} + x^2 e^y - 1$ 랑 같아야 하므로 $h'(y) = -1$ 이다.

따라서 $h(y) = -y$ 이고 $\psi = y\sin{x} + x^2 e^y - y$ 이다.

($h(y) = -y + C$ 해도 상관은 없다. 어차피 $\psi(x, y) = K$ 꼴로 결론이 나오는데,
이 상수 $K$ 에 $C$ 가 묻히게 되니 그냥 $C = 0$ 으로 택해도 상관 없다.)

 

 

 

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다음은 완전 미분방정식 조건을 만족하지 않는 경우이다.

$$ (3xy + y^2) + (x^2 + xy)y' = 0 $$

 

왜냐하면 위 식을 $M + Ny' = 0$ 라고 했을 때,

$M_y = 3x + 2y, \; N_x = 2x + y$ 로 서로 다르기 때문이다.

 

완전 미분방정식이 아닌데 $\psi$ 를 구하려고 하면 어떻게 되는지 살펴보자.

완전 미분방정식이라 가정하고 $M$ 을 $x$ 에 대해 적분하여 이를 $\psi$ 라고 하면 다음과 같다.

$$\psi(x, y) = \dfrac{3}{2}x^2 y + xy^2 + h(y)$$

완전 미분방정식이라 가정했으므로 $\psi$ 를 $y$ 에 대해 편미분 하면 $N$ 이 되어야 한다.

$$ \psi_y(x, y) = \textcolor{orange}{ \dfrac{3}{2}x^2 + 2xy + h'(y)} = N(x, y) = \textcolor{orange}{x^2 + xy} $$

정리하면 $h'(y)$ 가 다음과 같이 $y$ 만의 식이 아닌 $x$ 와도 연관된 식이 나온다.

$$ h'(y) = -\dfrac{1}{2}x^2 - xy $$

 

완전 미분방정식이라고 가정해서 $\psi = \dfrac{3}{2}x^2 y + xy^2 + h(y)$ 라고 구성할 수 있었는데,

$h'(y)$ 가 오직 $y$ 만의 식이 아닌 식이 나와버렸다.

이는 오직 $y$ 만의 식인 $h(y)$ 를 미분해서 절대 얻을 수 없는 식이므로

완전 미분방정식이라는 가정이 틀린 것이고, 조건을 만족하는 $\psi(x, y)$ 가 존재하지 않는 것이다.

 

 

 

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바로 위의 예시와 같이 당장은 완전 미분방정식 조건을 만족하지 않더라도

적분 인자(Integrating factor)라고 부를 어떤 식을 곱하여 완전 미분방정식 조건을 만족하게 바꿀 수도 있다.

마치 일계 선형 미분방정식에서 그랬듯 말이다.

 

예컨데 다음과 같은 완전이 아닌 미분방정식이 있다.

$$ M(x, y) + N(x, y) y' = 0 $$

여기에 적분인자로 $\mu(x, y)$ 를 곱해주면 완전 미분방정식이 된다고 가정하자.

$$ (\mu M) + (\mu N) y' = 0 $$

즉, $\dfrac{\partial}{\partial y} (\mu M) = \dfrac{\partial}{\partial x} (\mu N)$ 을 만족한다는 얘기이고

정리하면 다음을 만족한다는 말이다.

$$ M\mu_y - N\mu_x + (M_y - N_x)\mu = 0 \tag{3}$$

 

안타깝게도 이렇게 표현된 미분방정식은 풀어내기가 힘들다고 한다.

하지만 $\mu(x, y)$ 가 오직 하나의 변수에 의존하는 특수한 경우에는 풀어내기가 쉽다.

만약 $\mu$ 가 오직 $x$ 만의 함수라고 하면

식 $(3)$ 에서 $\mu_y = 0$ 이 되고 $\mu_x$ 는 편미분이 아닌 전미분 $\dfrac{d\mu}{dx}$이 되어

다음과 같이 정리될 수 있다.

$$ \dfrac{d\mu}{dx} = \dfrac{M_y - N_x}{N} \mu $$

 

여기서 만약 $\dfrac{M_y - N_x}{N}$ 이 $x$ 에만 의존하는 식이라면

위 식은 변수분리형 미분방정식이 되어서 $\mu(x)$ 를 풀어낼 수 있게 된다.

하지만 보다시피 완전 미분방정식에서 적분인자로 문제를 풀려면

추가로 붙어야 하는 조건들이 여러 겹으로 까다롭기 때문에

이 방법으로 문제를 풀어내게 되는 경우가 많지는 않다.

 

 

 

바로 위에서 보았던 완전 미분방정식 조건을 만족하지 않는 다음의 미분방정식

$$ (3xy^2 + y^2) + (x^2 + xy)y' = 0 $$

을 적분인자를 곱해 풀어내보자.

 

$\dfrac{M_y - N_x}{N} = \dfrac{(3x + 2y) - (2x + y)}{x^2 + xy} = \dfrac{1}{x}$ 이므로 $\dfrac{d\mu}{dx} = \dfrac{1}{x} \mu$ 이다.

변수분리형 미분방정식이므로, 다음과 같이 변수를 분리한 후 적분을 씌워주자.

$$ \int \dfrac{1}{\mu} d\mu = \int \dfrac{1}{x} dx $$

$\ln|\mu| = \ln|x| + C = \ln{e^C |x|}$ 이므로 $|\mu| = K|x|$ 인데,

$C = 0$ 으로 두면 $K = 1$ 이고 $ x > 0 $ 인 경우만 생각하면 $\mu(x) = x$ 를 얻는다.

 

즉, 주어진 미분방정식 양변에 $x$ 만 곱해주면 완전 미분방정식이 된다는 얘기이다.

$x$ 를 곱해준 후 $\psi(x, y)$ 를 구해보자.

$$\psi(x, y) = x^3 y + \dfrac{1}{2}x^2 y^2 + h(y)$$

인데 이번 장에서 소개한 방법대로 $h(y)$ 를 구해보면 $h(y) = C$ 를 얻는다.

 

따라서 주어진 미분방정식은 다음과 같이 음함수 꼴로 완전 미분방정식으로 표현된다.

$$ x^3y + \dfrac{1}{2}x^2 y^2 = C $$

혹은

$$ \dfrac{d}{dx} \left[ x^3 y + \dfrac{1}{2} x^2 y^2 \right] = 0 $$