공데셍

지금까지 선형 미분방정식의 적분인자를 이용한 해법과 변수분리형 미분방정식의 풀이법을 알아보았다. 여기서 두 가지 의문이 남는다. 구한 해는 과연 그것 뿐일까? 만약 유일하지 않다면 미분방정식을 푸는 의미가 별로 없을 것이다. 또 미분방정식을 풀어보지 않고 해가 존재하는지 바로 알 수 있을까? 이번 글에서는 미분방정식이 특정한 조건 하에서는 해가 항상 유일하게 존재한다는 것에 대해 다룰 것이다. 우선 선형인 경우에 대해 알아보자. ■ 일계 선형미분방정식의 해의 존재성과 유일성에 대한 정리 만약 함수 $p$ 와 $g$ 가 $t = t_0$ 을 포함하는 구간 $I : \alpha < t < \beta$ 에서 연속이라면 다음의 미분방정식 $$ y' + p(t)y = g(t) $$는 구간 $I$ 에서 위의 미분방..

지난 글에서 일계 미분방정식의 하위 분류 중 선형 일계미분방정식의 경우에는 양변에 적분인자를 곱해준 후 양변을 독립변수에 대해 적분해주면 해를 구할 수 있다는 것을 알았다. 이번에는 일계미분방정식 중 선형이 아님에도 불구하고 특수한 조건 하에는 양변에 적분을 해줌으로써 해를 구할 수 있다는 것을 보일 것이다. 일반적인(General) 일계 미분방정식은 다음 꼴을 갖는다. $$ \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \tag{식 1}$$ 참고로 이번 글에서는 독립변수로 $t$ 대신 $x$ 를 이용할 것이다. $(\text{식} 1)$ 을 적당히 변형하면 다음과 같은 꼴을 얻을 수 있다. $$ M(x, y) + N(x, y)\dfrac{dy}{dx} = 0 $$ 이렇게 변형하는것은 항상 가능하다. 한 ..

가장 먼저 상미분방정식 (미분과 연관된 함수가 일변수함수) 에 대해 다룬다. 다음과 같은 미분방정식이 상미분방정식이다. $$ \dfrac{dy}{dt} = f(t, y) $$ 여기서 $f(t, y)$ 는 독립변수 $t$ 와 $t$ 에 대한 종속변수 $y$ 에 관한 이변수함수로써 그 형태가 정해진것이 없다. 그리고 임의의 형태의 $f$ 가 주어졌을 때 항상 해를 이끌어내는 일반적인(General)한 방법은 아직 알려진게 없다. 하지만 $f$ 가 특수한 조건을 만족하는 경우에 대해서는 일반적인 해법이 존재하는 경우가 있다. 이번 글에서는 $f$ 의 변수 $y$ 가 선형적일 때 미분방정식을 푸는 법을 알아볼 것이다. 미분방정식의 분류가 기억이 안난다면 이 글을 읽어보고 오면 된다. 다음과 같은 형태를 만족하는..

미분방정식은 여러 종류가 있다. 이들을 분류하는 법을 살펴보자. 1. 상미분/편미분 가장 크게는 미분방정식에 연루된 함수가 일변수인지 다변수인지로 분류한다. 일변수함수인 경우에는 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)라고 부르고 다변수함수인 경우에는 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)라고 부른다. 예를들어 다음은 상미분방정식이고 $$ 3\dfrac{dx(t)}{dt} - x^{2}(t) = 5 $$ $$ \sqrt{y} \dfrac{dy}{dt} = 1 $$ 다음은 편미분방정식이다. $$ 2 \dfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \dfrac{\partial u(x, t)}{\part..

참고한 책은 다음과 같다. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 11th edition 미분방정식(Differential Equation)은 미분을 포함하고 있는 방정식을 일컫는다. 만약 미적분을 공부하고 온 사람들 중에 미분방정식을 모르는 사람들은 이렇게 생각할지도 모른다. "미적분 공부할 때 나온게 죄다 미분인데 미분방정식이랑 미적분에서 다룬 내용이 뭐가 다르지?" 하지만 미적분학(Calculus)은 단순히 미분과 적분의 개념을 정의하고 그와 관련된 정리들을 유도하는 기초적인 부분에 초점이 맞춰져 있고 미분방정식은 방정식 내부에 어떤 함수의 미분형태를 포함하고 있을 때 그 방정식을 만족하는 원래 함수를 찾아내는것에 초점이 맞춰져..