[오류를 스스로 찾아보자!] (by 네냐플) 리뷰

서론

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연고대 편입 준비생들은 한 번 쯤은 들어보았을 네이버 수학 블로거 네냐플님께서 (https://blog.naver.com/mindo1103) 이번에 편입 준비생들을 위한 교재를 제작했다고 하는데요, 감사하게도 제게 무료로 보내주시고 리뷰를 부탁하셨습니다.

책은 이렇게 생겼고 총 196페이지나 됩니다.

네냐플님이 그동안 독편사에서나 네이버 지식인, 혹은 연세대 수학과 조교를 하면서

학생들이 자주 저지르던 실수들을 모아 100문제로 담아냈다고 합니다.

 

각 문제들은 아래에 첨부 되어있는 사진과 같이 한 페이지에 한 문제가 제시되어 있고

풀이를 간단히 서술해 놓았는데 이 풀이가 수학적으로/스튜어트미분적분학 범위 내에서 옳은지

판단하라고 되어있습니다.

 

만약 옳은 풀이라면 해설은 따로 없고,

틀린 풀이라면 해설에 어떤 부분에서 틀렸는지 회색 박스로 강조한 후 설명과 옳은 풀이를 제시합니다.

 

 

 

어떤 사람들에게 효과적인가

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필자는 현재 100문제 중 75문제 정도 풀이와 함께 훑어보았는데 개인적으로 느끼기엔

다음과 같은 사람이 보면 효과적입니다.

1. 전체 개념을 멀지 않은 과거부터 2회독 이상 해보았다.

2. 모든 범위의 문제들을 최소 600문제 이상 풀면서 공부해보았다.

3. 위 조건을 충족하고 연세대 수학과, 컴퓨터과학과 등 고득점이 필요한 학과에 지원하고자 한다.

 

그리고 다음과 같은 사람이 보기엔 별로 효과적이지 못할 것으로 보입니다.

1. 수학을 엄밀하게 공부하기를 별로 좋아하지 않는다.

2. 개념보다는 문제를 빨리 푸는 연습을 하고자 한다/그런 능력이 필요한 편입을 준비한다.(비 연고대)

3. (편입을 위한) 수학 공부 시작한지 얼마 되지 않았다.

 

기본적으로 실수하기 좋은 문제들로만 구성이 되어있고, 두 눈을 부릅뜨고 보지 않는 한 찾아내기 힘든 오개념들에

대한 내용을 다루고 있기 때문에, 베이스 실력이 어느정도 되어있어야 한다고 느꼈습니다.

 

 

 

 

 

이 책의 좋다고 생각하는 점

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제가 꼽은 이 책의 장점은 다음과 같습니다.

 

첫째로 지엽적이거나 어려워서 잘 이해하지 못하고 넘어갔던 개념들을 리마인드 시켜주는 문제들이 곳곳에 배치되어 있습니다.

둘째로 처음 접해보면 떠올리기 힘든 아이디어가 필요한 문제들이 실려있습니다.

셋째로 모든 문제에 (현직 연세대 수학과 조교님 입장에서) 오류 없는 풀이가 실려 있어서 안심하고 볼 수 있고,

손으로 풀기보다는 눈으로 볼 수 있어서 짬 시간에 보기 좋습니다. 

 

사전에 허락받은 세 문제를 공개하며 설명드릴텐데요, 2번, 36번, 97번 이 세 문제인데

2번, 97번이 첫 번째 장점에 해당하는 문제이고

36번이 두 번째 장점에 해당하는 문제라고 할 수 있습니다.

 

 

우선 2번

밑으로 내리기 전에 스스로 한 번 생각해보시기 바랍니다.

역함수의 정의에 의해 $ f^{-1}(f(x)) = x $ 니까 당연히 맞겠지? 라고 생각하셨을지 모르겠습니다.

혹은 너무 쉬운게 수상하여 눈치를 채셨을수도 있겠습니다.

 

함수는 대응관계만 생각할 것이 아니라 정의역과 치역도 다 포함하여 생각해야 합니다.

$\sin^{-1}(x)$ 가 어떻게 정의되었는지 스튜어트를 펼쳐 다시 한 번 확인해보시면

$\sin(x)$ 의 $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ 부분만 잘라내서 $x, y$ 를 바꾸어 정의했음을 알 수 있습니다.

따라서 위 풀이는 옳지 않은 것입니다. 이제 아래 해설을 보시면 됩니다.

보시다시피 풀이에서 틀린 부분에 해당하는 곳에 회색으로 박스가 둘러져 있습니다.

그리고 어떤점이 틀렸는지 설명이 되어있고 마지막에는 옳은 풀이를 제시합니다.

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36번

이 풀이는 옳은 풀이입니다. 따라서 이 문제에 대한 해설은 따로 없습니다.

편입 수학 공부를 어느 정도 해본 사람들은 뻔한 유형이라 생각하실 수도 있는데

이런 유형을 처음 접한다면 단순히 무한개의 수열의 합에서 적분을 떠올리기 힘들다고 생각했습니다.

이런 문제들이 실려 있어서 혹시나 대비하지 못했던 유형들을 대비할 수 있게 해줍니다.

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97번

우선 보존장임을 보이는것은 벡터장이 $\vec{F} = <P(x, y), Q(x, y)>$ 일 때

$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 가 성립하기만 하면 되므로 보존장임은 알았습니다.

보존장의 정의에 의해 $\vec{F} = \nabla f$ 를 만족하는 $f$ 가 존재하고 

$P(x, y)$ 또는 $Q(x, y)$ 를 한 변수에 대해 적분하여 상수를 추론해내서 포텐셜 함수 $f$ 를 찾아내는 과정이 아주 순탄해보이는데요

 

하지만 당연히 틀렸으므로 이 문제를 선정했습니다.

정의역을 다시 살펴보면, $(0, 2)$ 를 중심으로 하는 반지름 $1$인 원입니다.

따라서 $x = 0$ 인 지점이 존재하는데 어라? 구한 포텐셜 함수에 $x=0$ 이 들어갈 수 없습니다.

그럼 포텐셜 함수를 어떻게 찾아야 할까?

이 책의 앞에서부터 풀어왔다면 힌트를 얻을 수 있을 텐데요

$\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}\left( \dfrac{1}{x} \right) = C (상수)$ 임을 이용하면 됩니다.

자세한 것은 풀이를 참조하시길

 

 

 

 

마치며

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이 책을 리뷰할 기회를 주신 네냐플님께 우선 감사드립니다.

책이 생각했던 것보다 내용이 많았고 쉬운 문제 없이 구성이 알차다고 느꼈습니다.

무엇보다도 연고대 편입의 최전방에서 많은 학생들의 질문을 받아주신 분이 집필한 책이라 

편입을 제대로 준비하시는 분들에게 분명 도움이 될 것이라 확신합니다.

이상으로 [오류를 스스로 찾아보자!] 리뷰를 마칩니다