영어 원서 International 8판 기준 식 (6.46)
$$ \dfrac{H^R}{RT} = -T \int_0^P \left( \dfrac{\partial Z}{\partial T} \right)_P \dfrac{dP}{P} $$
를 유도하는 과정을 책에서는 이렇게 적어 놓았다.
As explained in the Addendum to this chapter, J is a constant, independent of T, and the derivative of this equation in accord with Eq. (6.44) gives : (위 식)
그런데 유도과정 설명 없이 몇 단계 건너 뛴 모습에 아마 당황했을 것이다.
아래는 유도과정의 상세한 설명이다.
우선 (6.44) 식은 다음과 같다.
$$ \dfrac{H^R}{RT} = -T\left[ \dfrac{ \partial \left( \textcolor{orange}{\frac{G^R}{RT}} \right) }{ \partial T } \right]_P $$
이 식의 편미분속에 $\dfrac{G^R}{RT}$ 자리에 식 (6.45)인 $ \displaystyle \dfrac{G^R}{RT} = J + \int_0^P (Z-1) \dfrac{dP}{P} $ 를 대입하면,
$$ \dfrac{H^R}{RT} = -T\left[ \dfrac{ \partial \left( J + \int_0^P (Z-1) \dfrac{dP}{P} \right) }{ \partial T } \right]_P $$
우선 $J$ 는 상수라고 하였으므로 $T$ 에 대해 미분하면 사라진다.
그리고 적분식을 잘 보면 $P$ 가 $dP$ 자리에도 들어가고 적분 끝구간에도 들어가는데, 수학적으로는 옳은 표현은 아니다. 실질적인 압력을 나타내는 변수는 $dP$ 쪽이 아니라 적분 구간속에 들어있는 $P$ 라고 생각해야 한다.
(물리나 공학 관련 책에 이런 식으로 수학적으로 얼렁뚱땅 넘어가는 방식이 많다...)
아무튼 $P$ 는 원래 $V, T$ 에 관한 함수이기 때문에 미적분학의 기본정리를 적용하고 연쇄법칙도 적용해야 하지만,
대괄호 [] 우측하단에 보면 $P$ 가 적혀있다. 즉 $P$ 는 여기서 상수 취급이고 $T$ 에 종속이 아니게 된다.
즉, 여기서 라이프니츠 적분 규칙 https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
$$ \dfrac{d}{dx} \int_a^b f(x,t) dt = \int_a^b \dfrac{\partial}{\partial x} f(x, t) dt $$
을 적용할 수 있다.
따라서 다음과 같고
$$ \dfrac{H^R}{RT} = -T \int_0^P \left[ \dfrac{\partial}{\partial T}(Z-1) \right]_P \dfrac{dP}{P} $$
다음과 같이 마무리 된다.
$$ \dfrac{H^R}{RT} = -T \int_0^P \left( \dfrac{\partial Z}{\partial T} \right)_P \dfrac{dP}{P} $$