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  • 연세대학교 LearnUs 동영상 강의 다운로드 하는 방법 런어스는 동영상 파일이 웹페이지에 업로드 되어있는 방식이 아니라서인터넷에 떠도는 일반적인 방법으로 동영상을 다운로드할 수가 없었다. 하지만 파일 형식이 .m3u8이라는 것을 찾아내고 이것을 힌트삼아 여러 방법을 시도해본 결과25년 3월 기준 다음의 방법으로 다운로드가 가능하다는 것을 확인했다. 1. 구글 크롬 브라우저에 Live Stream Downloader 확장 프로그램을 설치한다.https://webextension.org/listing/hls-downloader.html?version=0.5.5&type=install Live Stream DownloaderPlease keep reviews clean, avoid improper language, and do not post any persona.. 공감수 5 댓글수 1 2025. 3. 8.
  • [연습 문제] 선적분, 면적분, 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 벡터 해석 단원의문제를 모아놓은 글이다.다음 목록의 글들을 공부하고 풀어보자. 벡터장과 스칼라장스칼라장에서의 선적분벡터장에서의 선적분선적분의 기본정리벡터의 회전과 발산그린 정리와 그 의미매개변수 곡면과 그 넓이스칼라 함수의 면적분벡터 함수의 면적분스토크스 정리발산 정리     1. Evaluate the line integral, where $C$ is given curve.$$ \int_C xe^y \; ds, \quad C \text{ is the line segment from } (2, 0) \text{ to } (5,4) $$더보기곡선 $C$ 를 매개변수 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다.$$ C : \textbf{r}(t) = , \quad 0 \le t \le 1 $$그러면 $\textbf.. 공감수 3 댓글수 0 2023. 10. 24.
  • 발산 정리(Divergence Theorem) 앞서 그린 정리에서 발산에 관한 그린 정리에 대해 소개한 바가 있다. 발산 정리(2차원) $$ \oint_C \textbf{F} \cdot \textbf{n} \; ds = \iint_D \nabla \cdot \textbf{F} \; dA $$ 좌변은 폐곡선 상에서의 벡터장의 발산 정도를 나타내고 우변은 폐곡선이 만드는 영역위의 모든 점에서 벡터장의 발산을 합한 값을 나타내므로 "어떤 영역(평면)에서의 벡터장의 발산은 그 경계에서의 발산이랑 같다" 를 의미한다고 했었다. 이번에 소개할 발산정리는 위 정리를 3차원으로 확장시켜서 같은 논리로 "어떤 영역(공간)에서의 벡터장의 발산은 그 경계면에서의 발산이랑 같다" 라는 의미를 갖는 정리이고 식으로 다음과 같이 표현한다. 발산 정리(3차원) 공간속에 유계이.. 공감수 2 댓글수 0 2023. 10. 23.
  • 스토크스 정리(Stokes' Theorem) 앞서 그린 정리를 소개하면서 그린 정리는 스토크스 정리의 특수한 경우라고 언급했었다. 이제 그 스토크스 정리에 대해 알아보자. 정리를 소개하기 앞서 닫힌 곡면에서 곡면의 방향과 곡면의 경계선의 진행방향의 관계에 대해 다음과 같이 먼저 약속을 하고 가자. 어떤 방향이 있는 유향 곡면 $S$ 가 있고 이 곡면의 경계를 $C$ 라고 하자. 곡면 $S$ 는 앞 뒤의 두 방향이 존재하는데, 둘 중 한 방향을 정해 단위벡터로 $\textbf{n}$ 이라 하자. 그리고 $\textbf{n}$ 이 향하는 방향 위에서 곡면을 바라보았을 때 $C$ 의 진행방향이 반시계 방향이 되도록 정한다. 스토크스 정리(Stokes' Theorem) $S$ 가 닫혀있는 조각적으로 부드러운 단순곡선 $C$ 를 경계로 하는 조각적으로 부드.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 20.
  • 벡터 함수의 면적분(Surface Integrals on Vector Fields) 본 블로그의 미적분학 시리즈를 순서대로 보지 않고 검색을 통해 들어왔다면 다음 글들을 읽어보고 이 글을 보는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 스칼라 함수의 면적분 이해를 돕기 위해 벡터장에서의 선적분을 먼저 빠르게 복습해보자. 삼변수 벡터함수의 선적분은 다음과 같은 형태를 하고 있었음을 떠올리자. $$ \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{d\textbf{r}} = \int_C \textbf{F} \cdot \textcolor{skyblue}{\textbf{T} \; ds} $$ 그리고 이는 곡선 $C$ 의 각 부분마다 곡선이 향하는 방향으로의 벡터장 $\textbf{F}$ 의 성분을 다 더한다는 의미였었다. 곡선 $C$ 는 다음과 같이 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 19.
  • 스칼라 함수의 면적분(Surface Integrals on Scalar Functions) 앞서 선적분에 대해 소개한 바가 있다. 원활한 이해를 위해 아래 글들을 한 번 읽고 오는 것을 추천한다. 스칼라장에서의 선적분 벡터장에서의 선적분 선적분이 매개변수로 표현된 곡선을 경로 삼아 함수를 적분하는 것이였다면, 이번에 소개할 면적분은 매개변수로 표현된 곡면을 적분 영역 삼아 함수를 적분하는 것이다. 선적분에서 스칼라 함수(스칼라장)의 선적분, 벡터 함수(벡터장)의 선적분 두 종류 있었 듯이 면적분에도 스칼라 함수(스칼라장)의 면적분, 벡터 함수(벡터장)의 면적분 두 종류를 다룬다. 이번 글에서는 스칼라 함수의 면적분에 대해 다룬다. 우선 이해를 돕기 위해 잠시 선적분을 복습하고 넘어가자. 삼변수 스칼라 함수의 선적분은 다음과 같이 표현되었음을 떠올리자 $$ \int_C f(x,y, z) \; d.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 18.
  • 매개변수 곡면과 그 넓이(Parametric Surfaces and Their Areas) ■ 매개변수 곡면의 정의와 의미 앞서 2차원 평면에 놓인 곡선을 매개변수 $t$ 를 이용해 다음과 같이 정의했었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 만약 곡선이 3차원 공간에 놓여있다면 $z$ 성분을 추가해주기만 하면 됐었다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 비슷한 방법으로 3차원 상에 존재하는 매개 곡면을 정의해보자. 이 곡면의 $x, y, z$ 값을 표현하기 위해서는 곡선과는 달리 두 개의 독립 변수가 필요하다. 따라서 매개변수 곡면을 다음과 같이 제시할 수 있다. $$ \textbf{r}(u, v) = $$ 이렇게 표현한 $\textbf{r}$ 역시 벡터 함수임을 유념하자. 곡선의 매개변수 표현에서 $t$ 의 값(정의역)이 어떤 구간으로 표현 되었듯이 곡면의 매개변수 $u, v$ 역시.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 17.
  • 신발끈 공식 그린 정리로 유도하기 신발끈 공식은 각 꼭지점의 좌표가 주어져 있을 때, 이 좌표들만을 이용하여 삼각형의 넓이를 계산해내는 공식으로 중고교 수학에서 교육과정에 정식으로 소개하지는 않지만 숨겨진 비기처럼 쓰이곤 하는 공식이다. 각 좌표에 대해서 $x$ 값들을 왼쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적고 $y$ 값들을 오른쪽 위에서부터 순서대로 아래로 적어준 후 마지막에 시작점의 $x, y$ 값을 한 번 더 적어주고 $2 \times 2$ 크기의 행렬식 계산할 때처럼 엑스자 모양으로 계산하여 다 더하면 신발끈 공식이 된다. (마지막에 $2$ 로 나누어 주어야 한다.) 이 모습이 마치 신발끈을 묶는 모습과 같아서 신발끈 공식이라 불린다. 단순히 삼각형 넓이라면 기하학을 이용해 공식이 맞음을 쉽게 증명할 수 있는데 이 공식은 삼각형이 아닌.. 공감수 2 댓글수 3 2023. 10. 15.
  • 그린 정리와 그 의미(Green's Theorem) 본론으로 들어가기 앞서 다음 두 글을 읽고 오는 것을 추천한다. 벡터의 회전(Curl)과 발산(Div) $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유 $\text{div} $ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유 그린 정리는 한 평면 위에서 선적분이랑 영역적분을 이어주는 정리이다. 추후에 소개할 스토크스 정리의 특수한 경우라고 할 수 있는데 바로 본론으로 들어가자면 그린 정리는 다음과 같다. 그린 정리(Green's Theorem) 곡선 $C$ 가 $xy$ 평면 위에서 양의 방향(반시계방향)이고 조각적으로 부드러우며 단순 닫힌 곡선이라고 하고 영역 $D$ 를 곡선 $C$ 에 유계된 영역이라고 하자. 영역 $D$ 를 포함한 열린 영역에서 $P$ 와 $Q$ 가 연속인 편도함수를 가지면 다음이 성립한.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 14.
  • $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유 $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 이유를 설명하는 글에 이어서 이번에는 $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 이유를 설명하고자 한다. 이전글과 마찬가지로 단순화된 상황을 가정하고 계산을 통해 의미를 이끌어낼 것이다. 발산의 의미대로 어떤 점에 대해 그 점 근처의 벡터들이 얼마나 뻗어나가려는 경향을 가지는지 계산해야 한다. 발산을 계산하기 위해 다음과 같은 생각을 해보자. 0. $\textbf{F}(x, y, z) = $ 가 주어져있고 점 $x, y, z$ 주위로 부피가 $(2\Delta x)(2 \Delta y)(2 \Delta z)$ 인 직육면체가 둘러싸고 있다고 하자. 그러면 여섯 면에 대해서 그 면 위의 벡터가 얼마나 바깥방향을 향하고 있는지 계산하면 될 것이다. 1. 회전에서 반시.. 공감수 0 댓글수 1 2023. 10. 13.
  • $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유 $\text{curl }\textbf{F}(x,y,z)$ 는 점 $(x,y,z)$ 의 주변 벡터들이 회전하는 정도를 의미한다고 알려져 있다. 그리고 식으로는 다음과 같이 정의되어있는데 $$ \text{curl } \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \textbf{i} .. 공감수 2 댓글수 0 2023. 10. 12.
  • 벡터의 회전(Curl)과 발산(Div) (Curl and Divergence of Vectors) 이번 글에서는 이후 등장할 정리들을 간단한 기호로 표현할 수 있도록 하는 연산에 대해 설명한다. 회전과 발산의 정의가 왜 회전과 발산을 나타내는지는 다음 글을 참조하고 ■ $\text{curl}$ 이 회전을 나타내는 연산자인 이유 ■ $\text{div}$ 가 발산을 나타내는 연산자인 이유 여기서는 정의와 계산법만 설명한다. 벡터의 회전(Curl)은 다음과 같이 정의된다. 벡터의 회전(Curl) $\mathbb{R}^3$ 위에서 정의된 벡터장 $\textbf{F} = $ 가 있고 $P, Q, R$ 의 편미분이 모두 존재한다고 하자. 이 때 $\textbf{F}$ 의 회전(Curl) 은 다음과 같이 정의된다. $$ \text{curl }{\textbf{F}} = \nabla \times \textbf{F}.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 11.
  • 가우스 기호가 포함된 함수 그래프의 개형 다음은 KMO 중학 2023년 기출이다. 풀이 전략은 가우스 기호가 포함된 항과 그렇지 않은 항을 분리시킨 후 그래프를 따로 그려서 교점을 찾는 것이다. 그러려면 가우스 기호가 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다. 우선 주어진 식을 변형하면 다음과 같다. $$ [x]([x] - 2) = 2x - 4 $$ 좌변의 그래프를 그리는 방법을 찾자. 간단히 떠오르는 방법으로는 전체 구간을 양 끝점이 정수인 크기가 $1$ 인 구간으로 쪼갠 후 각 구간에 대해 함수값을 직접 구해서 그래프를 그리는 것이다. $-2 \le x < -1 \textcolor{orange}{\Longrightarrow} [x]([x] - 2) = -2(-2 - 2) = \textcolor{red}{8} $ $-1 \le x < 0 .. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 9.
  • 선적분의 기본정리 (Fundamental Theorem for Line Integrals) 미적분학의 기본정리와 유사하게 선적분에서도 선적분의 기본정리가 있다.미적분학의 기본정리(2) 는 다음과 같았음을 떠올리자.$$ \int_a^b F'(t) \; dt = F(b) - F(a) $$(단, $F'$ 는 $[a, b]$ 에서 연속인 함수이다.) 선적분의 기본정리도 이와 유사하다.선적분의 기본정리곡선 $C$ 가 $\textbf{r}(t), t \in [a, b] $ 로 주어진 부드러운 곡선이라고 하자.$f$ 를 미분가능한 이변수 또는 삼변수 스칼라 함수라고 하고기울기 벡터 $\nabla f$ 가 $C$ 에서 연속이라고 하면 다음이 성립한다.$$ \int_C \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) $$더보기벡터장에서의 선적.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 10. 8.
  • 벡터장에서의 선적분 (Line Integral on Vector Fields) 수학의 꽤 많은 부분은 물리학이랑 같이 발전했다.벡터장에서의 선적분도 물리학에서 얘기하는 일(Work)를 계산하는데 이용이 되도록 정의되었다.따라서 물리학에서 얘기하는 일부터 먼저 설명하고 벡터장에서의 선적분을 정의할 것이다.    일상속에서 일이란, 어떤 작업을 하는데 드는 노력의 양을 뜻한다.물리학에서 얘기하는 일은 이 일상용어랑 좀 다른데,어떤 물체가 이동할 때 그 이동방향으로 물체가 받은 힘과 거리의 곱을 뜻한다. 힘은 물체가 이동하는 방향과 항상 일치하는 것은 아니므로힘 벡터와 방향 벡터를 내적을 시켜주어야 할 것이다.$$ \begin{align} W = &\text{힘} \cdot \text{변위 벡터} \\ = &\textbf{F} \cdot \textbf{d} \\ = &\textcolor.. 공감수 2 댓글수 0 2023. 10. 7.
  • 스칼라장에서의 선적분(Line Integral on Scalar Fields) 일변수 함수에서 적분은 정의역이 직선형태였고 이 직선을 따라서 적분을 했었다. 평면 위의 곡선으로 정의된 정의역에 대해서도 구불구불하게 적분을 할 수 있지 않을까 생각해보자. 무슨 말이냐면, 일반적인 적분은 다음 그림과 같은데 정의역이 평면 위의 곡선이라면 다음 그림과 같이 적분할 수도 있지 않을까 생각해볼 수 있다는 말이다. 이러한 적분을 선적분(Line Integral) 이라고 부르는데, (왜 곡선적분이 아니라 선적분인지는 알 수 없다.) 선적분을 정의하기 위해 다음과 같이 정의된 곡선 $C$ 를 고려하자. $$ C \; : \; x = x(t), \; y = y(t), \quad a \le t \le b $$ 이는 다음과 같은 벡터 함수로 생각할 수 있다. $$ \textbf{r}(t) = $$ 이.. 공감수 0 댓글수 3 2023. 10. 7.
  • 벡터장과 스칼라장(Vector Fields and Scalar Fields) 새로운 단원을 본격적으로 들어가기에 앞서 벡터장과 스칼라장에 대해 새롭게 알 필요가 있다. 벡터장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 벡터를 대응시킨 것이고 스칼라장은 어떠한 평면 또는 공간의 좌표마다 스칼라 값을 대응시킨 것이다. 즉, 좌표를 정의역으로 갖고 벡터 또는 스칼라를 공역으로 갖는 함수인 것이다. 벡터장의 예로는 어떤 방 안에 공기의 흐름이 존재한다고 하자. 이 때 방 안의 모든 위치마다 바람의 방향, 세기가 존재할 것인데, 이를 각 좌표마다 대응되는 방향과 세기를 표시해준 것이 벡터장이다. (벡터장은 앞서 배웠던 벡터함수 $\textbf{r}(t) = $ 랑 실질적으로는 같은 것이다. $t$ 변수를 생각하지 않고 $x,y,z$ 에 대한 함수라고 보면, $\textbf{r}(t)$ 는 $\t.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 10. 7.
  • $n-1$ 차원 밑면을 갖는 $n > 3$ 차원 뿔의 초부피 $\textcolor{skyblue}{2}$ 차원 도형인 삼각형에서 $L$ 은 밑변의 길이이고 $H$ 는 밑면과 수직인 높이라고 할 때 넓이는 다음과 같다. $$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{2}}LH $$ $\textcolor{skyblue}{3}$ 차원 뿔의 부피는 밑면의 넓이를 $A$, 높이를 $H$ 라고 할 때 다음과 같다. $$ \dfrac{1}{\textcolor{skyblue}{3}}AH $$ 규칙이 보인다. $n-1$ 차원의 밑면의 초부피가 $V$, 높이가 $H$ 인 $n$ 차원 뿔의 초부피는 다음과 같다고 예상할 수 있다. $$ \dfrac{1}{n}VH $$ 이를 증명해보기 위해 $2$ 차원에서부터 생각해보자. $2$ 차원인 삼각형의 넓이를 적분으로 계산해보자... 공감수 0 댓글수 3 2023. 9. 30.
  • [연습문제] 적분과 그 응용 (17~24) 본 블로그의 미적분학 17번~24번 포스팅에 관한 연습문제이다. 17. 넓이 문제와 정적분 18. 정적분의 성질 19. 미적분학의 기본정리 20. 부정적분 21. 치환 적분 22. 부분 적분 23. 적분을 이용한 부피 계산 24. 함수의 평균값 1. 다음을 증명하여라 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin{x} \; dx \le \dfrac{\pi^2}{8} $$ 더보기 $\sin{x} \le 1$ 이므로 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 에서 $x\sin{x} \le x$ 이다. 따라서 정적분의 비교 성질에 의하면 $$ \textcolor{orange}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin{x} \; dx} \textcolor{blue}{\le} \int_0.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 29.
  • 24. 함수의 평균값 (Average Value of a Function) $n$ 개의 값 $y_1, y_2, y_3, \cdots , y_n$ 의 평균은 다음과 같이 정의된다. $$ y_{\text{avg}} = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n y_i $$ 무한히 많은 값을 갖는 함수에 대해서도 평균을 생각할 수 있다. 예를 들어 연속함수 $f(x) = x^2$ 의 $[0, 2]$ 에서의 평균은 다음과 같이 생각할 수 있다. $x = 0$ 일 때 $y = f(0) = 0$ $x = 0.000...1$ 일 때 $y = f(0.000...1) = (0.000...1)^2$ $x = 0.000...2$ 일 때 $y = f(0.000...2) = (0.000...2)^2$ ... $x = .. 공감수 0 댓글수 2 2023. 9. 28.
  • 23. 적분을 이용한 부피 계산 (Volumes by Integration) 넓이 계산하는 파트는 책만 읽어도 쉽게 이해 되므로 생략했다. 다음과 같은 물체를 살펴보자. 물체는 $x = a$ 부터 $x = b$ 까지의 범위에 분포해 있다.임의의 점 $x$ 에서의 단면의 넓이를 $A(x)$ 라고 하자. 이 물체의 부피를 다음과 같이 $x$ 축에 평행하게 여러번 잘라 낸 부분 부피들의 합으로 근사시킬 수 있다. 예컨대, 7개 조각으로 나눈 위의 경우엔 부피 $V$ 는 다음과 같이 근사된다.$$ V \approx \sum_{i = 1}^7 A(x_i) \cdot \Delta x$$ 정적분에서 넓이를 구할 때처럼, 나눈 조각의 갯수가 많아질수록실제 부피에 수렴하게 될 것으로 예상할 수 있다.따라서 부피를 다음과 같이 정의한다. 부피의 정의 (정적분)$S$ 가 $x = a$ 와 $x = .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 28.
  • 22. 부분 적분 (Integration by Parts) 이번에는 적분을 할 때 이용되는 또 다른 테크닉인 부분 적분을 소개한다. $x$ 에 대한 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해 미분 공식 중 곱의 공식은 다음과 같다. $$ \dfrac{d}{dx}[fg] = f'g + fg' $$ 이 식의 양변을 부정적분해주면 다음과 같다. $$ \begin{align} fg = &\int f'g + fg' \; dx \\ = &\int f'g \; dx + \int fg' \; dx \end{align} $$ 식을 재정렬하면 $$ \int f'g \; dx = fg - \int fg' \; dx$$ 여기서 $f$ 는 적분될 함수이고 $g$ 는 미분될 함수이다. 우리는 $f$ 가 적분되거나 $g$ 가 미분되면서 식이 더 간단해지길 바란다. 다음 예제를 통해 무슨 말인지 설명.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 28.
  • 21. 치환 적분 (Substitution Rule) 앞서 잘 알려진 함수들에 대한 부정적분 공식을 살펴보았다. 하지만 대부분의 경우에는 역도함수가 무엇인지 찾기 쉽지 않다. 예를 들어 다음 식의 역도함수는 무엇인지 바로 떠오르지 않을 것이다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx $$ 하지만 $1 + x^2 = u$ 라고 치환하면 $2x dx = du$ 이므로 다음과 같다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C $$ 이제 $u = 1 + x^2$ 를 대입해주어 부정적분을 마무리할 수 있다. $$ \int 2x\sqrt{1 + x^2} dx = \dfrac{2}{3}(1 + x^2)^{\fra.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 24.
  • 20. 부정적분(Indefinite Integrals) 미적분학의 기본정리를 통해 적분이 미분의 역연산임을 알 수 있었다. 이제는 역도함수를 적분의 기호를 통해 표현할 수 있다. 앞으로는 $f$ 의 역도함수 $F$ 를 다음과 같은 기호로 표현하기로 한다. $$ \int f(\textcolor{red}{x}) d\textcolor{red}{x} = F(\textcolor{red}{x}) $$ 예를 들면 $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ 이다. 정적분의 결과는 값이였던것과 달리 부정적분의 결과는 함수임을 인지하자. (정확히는 Family of function 이다.) 다음은 잘 알려진 함수들에 대한 적분 테이블이다. $$ \begin{align} \int k dx = & \; kx + C \\ \int x^n dx = & \; \df.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 24.
  • 19. 미적분학의 기본 정리 (The Fundamental Theorem of Calculus) 지금까지 글에서 함수 아래에 놓인 넓이를 계산하기 위해 정적분을 이용했었다. 그리고 미분은 그래프의 기울기를 계산하기 위해 이용했었었다. 이번에 소개할 뉴턴과 라이프니츠가(따로) 발견한 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)는 전혀 관련이 없어보였던 미분과 적분은 서로 역연산 관계임을 알려주는 정리이다. 미적분학의 기본정리를 설명하기 위해 다음과 같이 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$ 를 고려하자. $$ g(x) = \int_a^x f(t) \; dt $$ 여기서 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 연속인 함수이고 $x \in [a,b]$ 이다. 그러면 아래 그림과 같이 $g(x)$ 는 $x$ 값에 따라 달라지는 $f$ 아래에 놓인 넓이를 나타내는 함수임을 알 수 있다.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 9. 24.
  • 18. 정적분의 성질 (Properties of Definite Integral) 이번에는 앞서 정의한 정적분의 여러가지 성질에 대해서 알아보자.  1. 적분 구간을 뒤집으면 반대부호가 된다.$$ \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) dx = -\int_\textcolor{blue}{b}^\textcolor{red}{a} f(x) dx $$더보기적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{b-a}{n}$ 였던 것이$\dfrac{a - b}{n} = -\dfrac{b-a}{n}$ 로 바뀌므로 간단히 증명된다.  2. 구간의 크기가 $0$ 이면 적분 값은 $0$ 이다.$$ \int_\textcolor{red}{a}^\textcolor{red}{a} f(x) dx = 0 $$더보기적분의 정의에서 구간의 크기가 $\dfrac{a-a}{.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 24.
  • 17. 넓이 문제와 정적분 (Area problem and Definite Integrals) 이제 함수의 넓이를 구하는 문제로 가보자. 넓이(Area)의 가장 기본적인 정의는 가로(width) $\times$ 세로(height)이다. 삼각형의 경우 사각형의 절반의 넓이를 갖고, 다각형의 경우 여러 삼각형으로 나누어 계산한 후 합하여 넓이를 구할 수 있다. 하지만 다음과 같이 곡선이 포함된 닫힌 영역의 넓이는 바로 구할 수가 없다. 문제를 해결하기 위해 넓이를 대강 구하는 방법을 택해보자. 우선 다음과 같이 $f(x) = x^2$ 를 고려한다. $[0, 1]$ 의 구간을 4개로 쪼개어 다음과 같이 4개의 사각형의 넓이의 합은 곡선 아래의 넓이와 대강 비슷할 것이다. 각 사각형의 높이는 각 구간의 오른쪽 끝 점 $\textcolor{limegreen}{\dfrac{1}{4}, \; \dfrac{2}.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 23.
  • [연습문제] 미분의 응용 (11~16) 본 블로그의 미적분학 11번~16번 포스팅에 관한 연습문제이다. 11. 최댓값, 최솟값, 극값정리, 페르마 정리 12. 롤의 정리, 평균값 정리 13. 도함수 판정법 14. 점근선 15. 미분을 이용한 곡선 그리기 16. 역도함수 1. 다음 문장들이 참인지 거짓인지 판단하고 거짓이라면 거짓인 이유를 서술하시오. 1-1) If $f'(c) = 0$, then $f$ has a local maximum or minimum at $c$. 더보기 False. $f(x) = x^3$ 이면 $f'(0) = 0$ 이지만 $f$ 는 $0$ 에서 극대값도 극소값도 아니다. 왜냐하면 $0$ 을 기준 $x$ 값 좌우로 $f'(x) > 0$ 이므로 $f$ 는 $x=0$ 좌우에서 증가함수이고 따라서 국소적으로 최댓값 또는 최솟.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 9. 23.
  • 유니티 자동완성이 안될 때 해결법 (Monobehaviour 상속이 안될 때 해결법) 위 사진처럼 MonoBehaviour가 에메랄드색으로 표시가 안되고 GameObject 나 Image 처럼 유니티 내에서 정의되어있는 클래스들의 색이 안입혀지고 자동완성이 안될 때는 유니티랑 Visual Studio가 연결되어 있지 않기 때문에 일어나는 문제이다. 위 사진처럼 유니티 - Edit - Preference 에 들어가서 External Tools 로 들어가면 다음과 같은 창이 뜨는데 External Script Editor 을 Visual Studio Community (ㅇㅇ버전) 을 선택해주면 해결이 된다. 공감수 1 댓글수 0 2023. 8. 1.
  • 백준 11726번 C++ https://www.acmicpc.net/problem/11726 DP(Dynamic Programming) 의 가장 기초적인 문제이다. dp[i] 를 $2 \times i$ 칸까지 고려했을 때 타일을 깔 수 있는 모든 경우의 수라고 정의하자. $2 \times i$ 의 타일링을 만드는 경우의 수는 다음 그림과 같이 세가지 경로에서 올 수 있는데, 첫 번째 그림은 dp[i-1] 에 타일 하나를 이어붙이는 경우이고 두 번째 그림은 dp[i-2] 에 타일 두개를 눕혀 한 묶음으로 $2\times2$ 타일을 이어붙이는 경우이다. 이 중 마지막 경우는 사실 dp[i-1]에 포함이 되어있던 경우이므로 무시할 수 있다. 따라서 dp[i-1]에 한 타일을 이어붙인 한 가지 경우 + dp[i-2]에 두 타일을 눕혀 .. 공감수 0 댓글수 0 2023. 7. 29.
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